【推荐1】如图所示。质的物体从空中某处以沿与水平方向成角斜向上抛出，恰好水平从光滑圆弧轨道最高点处滑入轨道内，且与轨道间无弹力，圆弧轨道与倾角也为角的光滑固定斜面相切于处，距水平面高。斜面在处与光滑水平面平滑相接，质量的物体静止在水平面上，与碰撞后粘为一体从点处冲上足够长的始终顺时针匀速运动的传送带。物体与皮带间的动摩擦因数。，，重力加速度取。不计空气阻力，求：
（1）圆弧轨道半径；
（2）物体向左运动距点的最大距离；
（3）若要物体不脱离轨道且不会从处飞出，传送带匀速运动的最大速度。

【推荐2】如图所示，竖直面内有足够长的粗糙斜面，与水平面的夹角为，斜面下端与半径的光滑半圆形轨道平滑相连（DC垂直于直径AC），连接点为C，半圆形轨道最低点为B、最高点为A．现将一质量的小球从斜面上的D点由静止释放，小球会通过A点落回斜面．小球与斜面的摩擦因数µ=．已知，，当地的重力加速度为．求：

（1）若DC=9m，小球到达B点时对轨道的压力大小．
（2）若小球过C点后受一个水平向左的恒定外力F=3N，要使小球仍能通过A点，DC的长度应满足什么条件？
（3）若小球过C点后不受水平恒力F．要使小球第一次落回斜面时能够垂直撞击斜面，则小球经过A点的速度为多大？撞击点距C点多远？

【推荐3】如图所示，半径为的光滑圆形轨道固定在竖直面内；圆形轨道与一光滑的弧形轨道相切，圆形区域内由平行于圆面的匀强电场，匀强电场的方向与竖直方向夹角为，带电量的小球静止在图示位置，带电量为的小球从弧形轨道某一位置由静止释放，A．B两球碰撞中无机械能损失，已知A．B两球的质量分别为、（为一常数），第一次碰撞后AB两球有相同的最大摆角（未脱离轨道），碰撞过程两小球所带电荷量保持不变，忽略AB球间的库仑力，重力加速度为。求：
（1）小球释放的位置距离圆形轨道最低点的高度至少为多少；
（2）求常数的值；
（3）在（1）问的情况下小球A．B第二次碰撞刚结束时各自的速度大小。

【推荐1】光滑水平面上有一质量为M=2kg的足够长的木板，木板上最有右端有一大小可忽略、质量为m=3kg的物块，物块与木板间的动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时物块和木板都静止，距木板左端L=2.4m处有一固定在水平面上的竖直弹性挡板P。现对物块施加一水平向左外力F＝6N，若木板与挡板P发生撞击时间极短，并且撞击时无动能损失，物块始终未能与挡板相撞，求：
（1）木板第一次撞击挡板P时的速度v为多少？
（2）木板从第一次撞击挡板P到运动至右端最远处所需的时间及此时物块距木板右端的距离x为多少?
（3）木板与挡板P会发生多次撞击直至静止，而物块一直向左运动，每次木板与挡板P撞击前物块和木板都已相对静止，最后木板静止于挡板P处，求木板与物块都静止时物块距木板最右端的距离x_n为多少?

【推荐2】如图所示，传送带以v=10m/s速度向左匀速运行，AB段长L为2m，竖直平面内的光滑半圆形圆弧槽在B点与水平传送带相切，半圆弧的直径BD=3.2m且B、D连线恰好在竖直方向上，质量m为0.2kg的小滑块与传送带间的动摩擦因数μ为0.5，g取10m/s²，不计小滑块通过连接处的能量损失。图中OM连线与水平半径OC连线夹角为30^°求∶

(1)小滑块从M处无初速度滑下，到达底端B时的速度；
(2)小滑块从M处无初速度滑下后，在传送带上向右运动的最大距离以及此过程产生的热量；
(3)将小滑块无初速度的放在传送带的A端，要使小滑块能通过半圆弧的最高点D，传送带AB段至少为多长？

【推荐3】如图所示，光滑水平面上固定竖直挡板MN，放有长木板P，P左端与MN间距离为d，P右端放置小物块K，P、K的质量均为m，P与K间的动摩擦因数为μ。现给小物块K持续施加水平向左的恒定外力，其大小为，P、K一起向左运动，直到P与竖直挡板MN相碰，碰撞的时间极短，碰撞前后瞬间P的速度大小相等、方向相反，小物块K始终在长木板P上。重力加速度为g。求：
（1）P、K间的摩擦力大小；
（2）P与挡板第一次碰撞时的速度大小；
（3）从外力作用在小物块K到长木板P第一次与竖直挡板MN碰撞后向右运动到最远的过程，P、K间因摩擦产生的热量。

【推荐1】如图，在地面上方空间存在着两个水平方向的匀强磁场，磁场的理想边界ef、gh、pq水平，磁感应强度大小均为B，区域I的磁场方向垂直纸面向里，区域Ⅱ的磁场方向向外，两个磁场的高度均为L；将一个质量为m，电阻为R，对角线长为2L的正方形金属线圈从图示位置由静止释放(线圈的d点与磁场上边界f等高，线圈平面与磁场垂直)，下落过程中对角线ac始终保持水平，当对角线ac刚到达cf时，线圈恰好受力平衡；当对角线ac到达h时，线圈又恰好受力平衡(重力加速度为g).求：

(1)当线圈的对角线ac刚到达gf时的速度大小；
(2)从线圈释放开始到对角线ac到达gh边界时，感应电流在线圈中产生的热量为多少?

【推荐2】电磁阻尼制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它的基本原理如图甲所示。水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的电流会对磁铁的运动产生阻碍作用。电磁阻尼制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式，某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为L₁=0.6m，宽L₂=0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B₁=2T，将铝板简化为长大于L₁，宽也为L₂的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L₂，每个线圈的电阻为R₁=0.1Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v₀=20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a₁=2m/s²做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B₁时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m₁=36kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。

（1）电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度v₁为多大？
（2）模型车的制动距离为多大？
（3）某同学受到上述装置的启发，设计了进一步提高制动效果的方案如下，将电磁铁换成多个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，相邻线圈接触紧密但彼此绝缘，如图丙所示，若永磁铁激发的磁感应强度恒定为B₂，模型车质量m₁及开始减速的初速度v₀均不变，试通过必要的公式分析这种设计在提高制动能力上的合理性。

【推荐3】如图所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场B，一边长为L，质量为m的正方形单匝线框abcd放在水平桌面上，在水平外力作用下从左边界以速度v匀速进入磁场，当cd边刚好进入磁场后立刻撤去外力，线框ab边恰好能到达磁场的右边界，然后将线框以ab边为轴，以角速度ω匀速翻转到图示虚线位置。已知线框与桌面间的动摩擦因数为μ，磁场宽度大于L，线框电阻为R，重力加速度为g，求：
(1)当ab边刚进入磁场时，ab两端的电压U_ab；
(2)磁场的宽度s；
(3)整个过程中线框产生的总热量Q。

【推荐1】如图甲所示，CDE是固定在绝缘水平面上的光滑金属导轨，CD=DE=L，∠CDE=60°，CD和DE单位长度的电阻均为r₀，导轨处于磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中． MN是绝缘水平面上的一根金属杆，其长度大于L，电阻可忽略不计．现MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀．在CDE上匀速滑行．MN在滑行的过程中始终与CDE接触良好，并且与C、E所确定的直线平行．
（1）求MN滑行到C、E两点时，C、D两点电势差的大小；
（2）推导MN在CDE上滑动过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；
（3）在运动学中我们学过：通过物体运动速度和时间的关系图线（v – t 图）可以求出物体运动的位移x，如图乙中物体在0 – t₀．时间内的位移在数值上等于梯形Ov₀Pt的面积．通过类比我们可以知道：如果画出力与位移的关系图线（F—x图）也可以通过图线求出力对物体所做的功．
请你推导MN在CDE上滑动过程中，MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式，并用F_安与x的关系图线求出MN在CDE上整个滑行的过程中，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热．

【推荐2】如图所示，在水平地面上固定一光滑金属导轨，导轨间距离为L，导轨电阻不计，右端接有阻值为R的电阻，质量为m，电阻r=R的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有一水平向右的初速度v₀，已知当导体棒第一次回到初始位置时，速度大小变为v₀，整个运动过程中导体棒始终与导体垂直并保持良好接触，弹簧的重心轴线与导轨平行，且弹簧始终处于弹性限度范围内．求：

（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小；
（2）导体棒第一次回到初始位置时，导体棒的加速度大小为a；
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳Q。

【推荐3】如图所示，间距为L的倒U形金属导轨竖直放置，导轨光滑且电阻忽略不计。垂直导轨平面分布着100个场强为B的条形匀强磁场，磁场区域的宽度为a，相邻磁场距离为b。一根质量为m、电阻为R的金属棒放置在导轨上且与导轨始终良好接触，金属棒从距离第一磁场区域上端2a位置静止释放。（设重力加速度为g）
（1）求刚进入第1磁场区域时的安培力大小和方向；
（2）金属棒穿过各段磁场时，发现通过回路的电流随时间以固定周期做周期性变化，求金属棒穿出第100个磁场区域时的速度及整个过程金属棒产生的热量；
（3）若满足第（2）问的情况，求金属棒穿过每个磁场区域的时间，并画出通过回路的电流i随时间t的变化的图像（定性即可，不需要标出具体坐标值）。