【推荐1】人造地球卫星绕地球旋转（设为匀速圆周运动）时，既具有动能又具有引力势能（引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略地说此势能是人造卫星所具有的）。设地球的质量为M，以卫星离地球无限远处时的引力势能为零，则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为（G为万有引力常量）。
(1)试证明：在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能；
(2)当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，这个速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示。用R表示地球的半径，M表示地球的质量，G表示万有引力常量，试写出第二宇宙速度的表达式；
(3)设第一宇宙速度为v₁，证明：。

【推荐2】如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。你知道这个速度究竟有多大吗？如果继续增大水平抛出物体的速度，会发生什么？要发射火星探测器，发射速度有什么要求？

【推荐3】宇航员在一行星上以速度v₀竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R，求：
（1）该星球的第一宇宙速度的大小；
（2）该星球的第二宇宙速度的大小，已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能E_p＝－G。（G为万有引力常量）

【推荐1】已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
（1）试求地球的质量M；
（2）试推导第一宇宙速度v的表达式；
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

【推荐2】已知地球质量为M，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体．在以下问题的讨论中，空气阻力及地球自转的影响均忽略不计．
（1）物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度．请证明第一宇宙速度的大小．
（2）某同学设想从地面以第一宇宙速度的大小竖直上抛一可视为质点的物体，关于物体上升的最大高度，他的解答过程如下：
设物体的质量为m，上升的最大高度为h，重力加速度为g，由机械能守恒定律有：
．       又： ，，所以                                          联立得：

老师说该同学的上述解答是不正确的，请指出上述错误的原因，并分析说明物体上升的最大高度h应该比大还是小？

（3）试分析说明第（2）问中以第一宇宙速度v₁竖直上抛至落回抛出点的整个过程中，物体的速度和加速度的变化情况，并以竖直向上为正方向，在图中定性画出物体从抛出到落回抛出点的整个过程中速度随时间变化的v-t图像．

【推荐3】宇航员在月球表面完成下面实验：如图所示，在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点），当给小球一水平初速度v时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球半径为R，引力常量为G．若在月球表面上发射一颗环月卫星，则所需的最小发射速度为多大？

【推荐1】为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者华裔物理学家高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，引力常量为G，在不考虑自转的情况，求：（以下结果均用字母表达即可）
（1）“高锟星”的第一宇宙速度；
（2）假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距“高锟星”表面的高度。

【推荐2】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象，若飞船质量为m，距地面高度为h ，地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度大小为g，由此可求得：
（1）“天宫一号”飞船所在处的重力加速度g＇；
（2）“天宫一号”飞船围绕地球转一圈所用的时间T。

【推荐3】一卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G。
（1）求卫星运动的周期T；
（2）求地球第一宇宙速度的大小v₁；
（3）若地球自转的周期为T₀，求地球表面赤道处重力加速度的大小g。

【推荐1】如图所示，质量均为的两物体，用劲度系数为的轻质弹簧相连，被手用外力提在空中静止，这时离地面的高度为，放手后，下落，若与地面碰撞后不再反弹，求：从开始下落到其速度达到最大的过程中．

（1）的重力势能的改变量．
（2）的最大速度的大小．

【推荐2】如图，半径R=0.45m光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直固定于光滑水平面上，底端与一质量为M=2kg的小车的上表面相切，一质量m=3kg的小物块从圆弧轨道最高点P由静止释放，经Q点后滑上静止的小车，小车与小物块间的动摩擦因数μ=0.3，小车与墙碰撞的时间极短且为弹性碰撞。已知小车与墙碰撞前，小车与小物块的速度已经相同，重力加速度g=10m/s²求：
（1）小物块滑到Q点时的动量大小；
（2）小物块与小车第一次相对静止时的速度大小；
（3）若小车与墙第一次碰撞后，物块恰好没有从小车上滑出去，则小车的长度为多少。

【推荐3】我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步，“嫦娥三号”的任务是“落”。2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道I。12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道II，如图所示，2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面。已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h₁、h₂。
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量．若“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变。已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小。