【推荐1】经典理论认为，氢原子核外电子在库仑力作用下绕固定不动的原子核做匀速圆周运动。已知氢原子核的电荷量为+e，电子电荷量为-e，质量为m，静电力常量为k。电子绕核旋转的两个可能轨道S₁、S₂到氢原子核的距离分别为r₁、r₂。
（1）请根据电场强度的定义和库仑定律推导出氢原子核在S₁轨道处产生的电场强度表达式；
（2）电荷量为Q的点电荷电场中，距点电荷距离为r处的电势可以用表示，该式仅由静电力常量k、点电荷的电荷量Q及该点到点电荷的距离r决定。若电子在等势面S₁上做匀速圆周运动时，点电荷与电子组成的系统具有的总能量为E₁，在等势面S₂上做匀速圆周运动时具有的总能量为E₂，某同学类比机械能守恒猜测E₁=E₂。你是否同意他的结论？通过推导或计算说明你的观点。
（3）英国物理学家法拉第引入电场线来表示电场，线上每一点切线方向都跟该点的场强方向一致，并用电场线的疏密表示场强的大小。为什么可用电场线疏密来表示场强大小呢？请用真空中孤立的点电荷的电场进行论证说明。
   

【推荐2】开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示椭圆轨道半长轴，T表示公转周期，比值c是一个对所有行星都相同的常量。牛顿把该定律推广到宇宙中一切物体之间，提出了万有引力定律：
(1)开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用。圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处，半长轴为轨迹半径。直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹，此时中心天体在轨迹端点，半长轴为轨迹长度的。已知：某可视为质点的星球质量为M，引力常量为G。一物体与星球的距离为r。该物体在星球引力作用下运动，其他作用力忽略不计。
a.若物体绕星球做匀速圆周运动，请你推导该星球的引力系统中常量c的表达式；
b.若物体由静止开始做直线运动。求物体到达星球所经历的时间（r远大于R）；
(2)万有引力和静电引力是自然界中典型的两种引力，库仑定律和万有引力定律均遵循“平方反比”规律，类比可知，带电粒子在电场中的运动也遵循开普勒第三定律。两个点电荷带电量分别为+Q和－Q，质量均为m，从相距为2l的两点由静止释放，在静电引力的作用下运动，其他作用力忽略不计。静电力常量为k。求两点电荷从开始释放到相遇的时间。

【推荐3】如图1所示，带有相同正电荷的小球A和B，通过绝缘杆置于水平气垫导轨上．A固定于导轨左端，B固定在滑块上，可在导轨上无摩擦滑动．将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过光电门测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图3曲线①（A、B小球可视为点电荷，以小球A 处为坐标原点）．若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度，如图2所示，则B 的总势能(包含重力势能与电势能)曲线如图3中②所示．现将B在倾斜导轨上x＝0.20m 处由静止释放


（1）求B在运动过程中动能最大时所在的位置以及动能的最大值；
（2）求运动过程中B的最大位移；
（3）图3中直线③为曲线②的渐近线，求小球A、B所带电荷量的乘积．

【推荐1】地球表面附近存在一个竖直向下的电场，其大小约为100V/m，在该电场的作用下，大气中正离子向下运动，负离子向上运动，从而形成较为稳定的电流，这叫做晴天地空电流。地表附近某处地空电流虽然微弱，但全球地空电流的总电流强度很大，约为1800A。以下分析问题时假设地空电流在全球各处均匀分布。
（1）请问地表附近从高处到低处电势升高还是降低？
（2）如果认为此电场是由地球表面均匀分布的负电荷产生的，且已知电荷均匀分布的带电球面在球面外某处产生的场强相当于电荷全部集中在球心所产生的场强；地表附近电场的大小用E表示，地球半径用R表示，静电力常量用k表示，请写出地表所带电荷量的大小Q的表达式；
（3）取地球表面积S=5.1×10¹⁴m²，试计算地表附近空气的电阻率ρ₀的大小；
（4）我们知道电流的周围会有磁场，那么全球均匀分布的地空电流是否会在地球表面形成磁场？如果会，说明方向；如果不会，说明理由。

【推荐3】如图所示，三根相互平行的固定长直导线L₁、L₂和L₃垂直纸面放置，三根导线及坐标原点恰好位于边长为a的正方形的四个点上，L₁与L₂中的电流均为2I，方向均垂直于纸面向外，L₃中的电流为I，方向垂直纸面向里。已知电流为I的长直导线产生的磁场中，距导线r处的磁感应强度（式中k为常量）。求原点O处的磁感应强度B的大小和方向。

【推荐2】如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E=2N/C，第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在yh=1.6m的区域有磁感应强度也为B垂直于纸面向外的匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度m/s，恰好能沿PO做匀速直线运动（PO与x轴负方向的夹角为θ=45°），并从原点O进入第一象限。已知重力加速度g=10m/s²。求：
(1)油滴所带电性以及磁场磁感应强度B；
(2)油滴第二次经过y轴的坐标；
(3)若第一象限内是磁感应强度仍为B，位置可变的矩形磁场（y轴是边界），能让油滴在第一象限内回到x轴的磁场区域最小面积S。

【推荐3】质子和中子在一定条件下紧密结合成氦核，从较大原子核中被抛射出来，于是放射性元素就发生了α衰变。位于x轴原点O处的核反应区通过α衰变可形成一个α粒子源，该粒子源在纸面内向x轴上方区域各向均匀地发射α粒子。x轴正上方区域存在足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1.66T，方向垂直纸面向外。在x=0.12m处放置一个下端与x轴相齐，上端足够长的感光板用于探测和收集粒子。已知，质子质量m_p=1.007277u，中子质量m_n=1.008976u，α粒子的质量m_α=4.00150u，1u=1.66×10^-27千克，元电荷e=1.6×10^-19C，sin37°=0.6，cos37°=0.8.若α粒子从O点飞出时速度大小为6×10⁶m/s：
(1)写出质子和中子结合成α粒子的核反应方程，并计算该核反应所释放的能量；
(2)求垂直于x轴进入磁场的α粒子，经多长时间到达感光板；（第(2)(3)(4)小题计算时，m均取6.64×10^-27kg）
(3)α粒子经磁场偏转后有部分能到达感光板，且感光板上某个区域中的同一位置会先后接收到两个粒子，这一区域称为二次发光区，问二次发光区的长度以及到达二次发光区的粒子数与总粒子数的比值；
(4)若感光板位置x和磁感应强度B大小可调节，要维持到达二次发光区的粒子数与总粒子数比值不变，求B与x应满足的关系。

【推荐1】如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为的匀强电场（上、下及左侧无界）。一个质量为、电量为的可视为质点的带正电小球，在时刻以大小为的水平初速度向右通过电场中的一点P，当时刻在电场所在空间中加上一如图所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为，D到竖直面MN的距离DQ为。设磁感应强度垂直纸面向里为正。
（1）试说明小球在0~时间内的运动情况，并在图中画出运动的轨迹；
（2）试推出满足条件时的表达式（用题中所给物理量、、、、来表示）；
（3）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动。则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度及运动的最大周期的表达式（用题中所给物理量、、、来表示）。

【推荐2】如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度沿PQ向右做直线运动，Q位于MN上，若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成90°角，已知D、Q间的距离为2L，小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）与的比值；
（3）小球过D点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁感应强度的大小及运动的最大周期。

【推荐3】如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B₁，E的大小为0.5×10³V/m，B₁大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B₂，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10^-14kg、电荷量q=1×10^-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B₂区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出．M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s²．
（1）请分析判断匀强电场E的方向（要求在图中画出）并求出微粒的运动速度v；
（2）匀强磁场B₂的大小为多大？
（3）B₂磁场区域的最小面积为多少？