【推荐3】如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角．已知小球的质量m，细线AC长l，B点距C点的水平距离和竖直距离相等。

（1）当装置处于静止状态时，求AB和AC细线上的拉力大小；
（2）若AB细线水平且拉力等于重力的一半，求此时装置匀速转动的角速度的大小；
（3）若要使AB细线上的拉力为零，求装置匀速转动的角速度的取值范围。

【推荐1】在“极限”运动会中，有一个在钢索桥上的比赛项目。如图所示，总长为L的均匀粗钢丝绳固定在等高的A、B处，钢丝绳最低点与固定点A、B的高度差为H，动滑轮起点在A处，并可沿钢丝绳滑动，钢丝绳最低点距离水面也为H。若质量为m的人抓住滑轮下方的挂钩由A点静止滑下，最远能到达右侧C点，C、B间钢丝绳长度为，高度差为。若参赛者在运动过程中始终处于竖直状态，抓住滑轮的手与脚底之间的距离也为，滑轮与钢丝绳间的摩擦力大小视为不变，且摩擦力所做功与滑过的路程成正比，不计参赛者在运动中受到的阻力、滑轮（含挂钩）的质量和大小，不考虑钢索桥的摆动及形变。
（1）滑轮与钢丝绳间的摩擦力是多大？
（2）若参赛者不依靠外界帮助要到达B点，则人在A点处抓住挂钩时至少应该具有多大的初动能？
（3）比赛规定参赛者须在钢丝绳最低点脱钩并到达与钢丝绳最低点水平相距为4a、宽度为a，厚度不计的海绵垫子上。若参赛者由A点静止滑下，会落在海绵垫子左侧的水中。 为了能落到海绵垫子上，参赛者在A点抓住挂钩时应具有初动能的范围？

【推荐2】如图（）所示，在倾角的光滑固定斜面上有一劲度系数的轻质弹簧，弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，弹簧上端拴接一质量的物体，初始时物体处于静止状态．取．
   
（）求此时弹簧的形变量．
（）现对物体施加沿斜面向上的拉力，拉力的大小与物体位移的关系如图（）所示，设斜面足够长．
．分析说明物体的运动性质并求出物体的速度与位移的关系式；
．若物体位移为时撤去拉力，在图（）中做出此后物体上滑过程中弹簧弹力的大小随形变量的函数图像；并且求出此后物体沿斜面上滑的最大距离以及此后运动的最大速度．

【推荐3】图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点，轨道Ⅱ末端与水平面平滑连接。若将两个完全相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。已知M距离地面的高度为H，两个小球的质量都为m，重力加速度为g，不考虑小球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为，
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M运动N过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。

【推荐1】如图所示，在竖直平面内有一固定光滑绝缘轨道，其中AB部分是倾角为θ=37°的直轨道， BCD部分是以O为圆心、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点， D点与O点等高， A点在D点的正下方。圆的水平直径下方有水平向左的电场，质量为m、带电荷量为q的小球从A点由静止开始沿斜面向上运动，已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C ，然后经过D点落回到AB之间某点。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g。求∶
(1)小球在C点的速度的大小；
(2)小球在AB段运动过程中电场力所做的功；
(3)小球从D点运动落到AB上某点的时间。

【推荐2】如图所示，质量kg的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半径R=1m的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧。滑道CD部分粗糙，长L=0.5m，动摩擦因数，其他部分均光滑。现将质量kg可视为质点的物块自A点（圆弧最高点）由静止释放，取g=10m/s²，求：
(1)物块第一次滑到圆弧最低点B时的速度大小v₁；
(2)物块第二次滑到C点时的速度大小v₃；
(3)物块最终停止时与D点的距离x。

【推荐3】如图所示，是一个简化后的娱乐项目示意图，游客被安全地固定在球型装备（看成质点，图中未画出）内，被弹射系统水平贴地弹出后即刻进入长为L=5m的水平轨道SO．O点既是水平路面的末端，也是半圆轨道OA的起点，以O点为坐标原点建立水平向右的x轴．竖直半圆轨道OA与AB（O、A、B在同一条竖直线上，B点为半圆轨道的最高点，该处切线水平）的半径均为R=2m，它们在A点衔接，不计衔接处的缝隙大小和装备运行到此处的能量损失．半圆轨道OA的右侧是一片水域，水面略低的半径r=2m的水平圆盘，MN是圆盘的竖直支架（它与半圆轨道在同一竖直面内），N点是圆盘的圆心，M点可以左右移动，水平圆盘不能和半圆轨道OA重叠．若球型装备与SO之间的动摩擦因数μ=0.2，与两半圆轨道的摩擦不计，圆盘转轴NM的高度H=2m，不计空气阻力，球型装备的质量为50kg，在某次设备测试中，让球型装备空载运行，求：

（1）为了能让装备安全到达B点，则弹射系统应至少给装备提供多少能量？
（2）若装备恰好能安全到达B点，此后为让装备能落到水平圆盘上，求M点的坐标范围；
（3）若M点的坐标为x=6m，为让装备能落到水平圆盘上，求弹射系统提供给装备的能量．