【推荐1】市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．
四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是射线BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
【探究1】当点E是BC中点时，如图1，发现AE＝EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可．（无需证明）

【探究2】（1）如图2，如果把“点E是BC的中点”改成“点E是边BC上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由．
（2）如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图像，并判断“AE＝EF”是否成立？______（填“是”或“否”），如果是，请简述一下辅助线的作法：______；如果否，也请说明理由：______．

【探究3】连接AF交直线CD于点I，连接EI，试探究线段BE，EI，ID之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论．
【探究4】当CE＝2时，此时△EIF的面积为______．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．
   
(1)求线段的长；
(2)求点的坐标；
(3)所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．

【推荐3】已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．

（1）求直线AC的解析式．
（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．

【推荐1】如图①，已知在中，cm，cm，以为边作正方形，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：

(1)是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(2)当t为何值时，为等腰三角形？
(3)如图②，连接MQ，设四边形的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式．
(4)当时，求t的值．

【推荐2】在中，是的中点，以为腰向外作等腰直角，即 ，连接，交于点，连接．
如图1，若，求的度数．
   
在的条件下，写出与三条线段之间的等量关系，并说明理由．
若是钝角时，交延长线于，连接如图2所示：
   
①探究图2中的形状，并说明理由．
②若，求的面积．

【推荐3】在等边中，点D、E分别是边、上的点，且，、交于点F．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点B作于点G，过点C作交延长线于点H，若F为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下K为延长线上一点，且，的面积为6，求的面积．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，点从点出发沿射线运动，点在射线上，且，以为直径作，设点．

（1）求线段的长；
（2）当点在轴上方且与轴相切时，求的值；
（3）若直径将分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在的内部时（含角的边上），直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，正方形的边长为，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
   
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．

【推荐3】定义：如图1，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，若绕点P旋转时始终满足，则称是的“梦之角”．

(1)如图1，已知，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，且．求证：是的“梦之角”；
(2)如图2，已知，，若是的“梦之角”，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积；
(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足，的“梦之角”为，请直接写出的长及相应点P的坐标．