【推荐1】已知长方形，，， 为中点，点从点出发，沿着，边运动到点 停止，点的速度为，运动时间为．

（1）当点在边上运动时，________（用字母表示）；当点在 边上运动时，________（用字母表示）；
（2）当的面积为时，则________；
（3）当为等腰三角形时，则________．

【推荐2】如图1所示，已知点，有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．
   
(1)试说明；
(2)若点M坐标为，点N坐标为，请直接写出m与n之间的数量关系；
(3)如图2所示，过点P作线段，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为中点，且，绕着顶点P旋转直角，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，和是否还相等，请说明理由；
(4)在（3）条件下，请直接写出的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，．

(1)求，的长；
(2)求点坐标；
(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线经过A（-1，0），C（0，-5）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q. 若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由.

【推荐3】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF=EF．

证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴…            …，①
∴BT=DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB=90°，②
在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，
可得∠H=∠TDH，
∴BT=DT=HT．
又∵DE∥BH，∴=，=
∴=
又∵BT=HT，∴DF=EF．
任务：
(1)请将①部分证明补充完整；
(2)证明过程中②的证明依据是                ；
(3)如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．

【推荐1】已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．

(1)①如图1，当点D为边中点时，则的值为________；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
(2)如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．

【推荐2】（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是       ．
（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是      ．
（3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系．

【推荐3】已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点G的坐标．

【推荐1】在中，，，点D在边上，，将线段绕点D顺时针旋转至，记旋转角为，连结，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连结．

(1)如图1，当时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②连结AF，请你添加条件______，证明四边形AECF是平行四边形．（画图证明）