【推荐1】如图，梯形中，，，点是延长线上一点，，，垂直于射线，垂足为点．
   
(1)证朋：四边形是平行四边形
(2)联结，如果是等腰三角形，求线段的长度．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．
操作发现：

（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是　 　．
（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．
实践探究：
（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．
（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是　 　cm．

【推荐1】（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中，连接、，求证：≌．

（2）和是两个含30°的直角三角形，中，，，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度．
①如图2，与交于点，交于，连接，若四边形为平行四边形，求的值．
②若，当点落在上时，求的长．

【推荐2】在如图的中，，，，平分交于点D，点E为边上一点，点F为直线上一点，连接．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图①，当点E与点C重合，且的延长线过边的中点G时，连接，求线段的长；
(2)如图②，点E不与点A，C重合，的延长线交边于点G，求证：；
(3)如图③，E为线段上一动点，F为的中点，连接，Q为上一动点，连接，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．

【推荐3】（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．