【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，逵接，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作手点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系．
   
(1)直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________．
(2)如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时．
①求证：；
②试猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示．

【推荐3】如图，在矩形中，点是线段的垂直平分线上一点，连接并延长交边于点．

（1）求证：点是线段的中点；
（2）连接并延长交于点，连接、，若点是的中点，平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，作点关于的对称点，连接，若点到的距离是，，求线段的长．

【推荐1】（1）已知：如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．

求证：
(1)①；
②；
(2)如图，在△ABC中，，，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1）请你猜想：
①∠DCE的度数；
②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；

(3)如图，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE；
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结BE，若，，直接写出AE的长．

【推荐2】【模型呈现：材料阅读】
如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…
   
【模型改编：问题解决】
点，在直线的同侧，，，，直线，交于，
如图1：点在直线上，
①求证：；       ②求的度数．       
如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______；
④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．
   

图1                                 图2                                               图3

【推荐3】如图1，在中，，，点D，E分别是AC，BC的中点．

(1)直接写出的形状是______；
(2)如图2，若点M为直线DE上一动点，，，连接ND，请判断ND与ME的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接AN，请求出AN的最小值．

【推荐1】定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．

（1）如图1，中，，，点在上，于点，于点，连接，求证： 是“半高”三角形；
（2）如图2，是“半高”三角形，且边上的高是“半高”，点在上，交于点，于点，于点．
①请探究，，之间的等量关系，并说明理由；
②若的面积等于16，求的最小值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为3．

(1)求一次函数的表达式；
(2)点D为x轴正半轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)点E为直线上一点（不与点C重合），设点E的横坐标为m．
①若，请直接写出m的取值范围；
②若，请直接写出点E的坐标．

【推荐2】如图，正方形的边长为4，在x轴上，在y轴上，且，，点D为的中点，点E在x轴上，直线交x轴于点F．

（1）如图1，若，
①求证：；
②点P是直线上的一个动点，求作点P使得的值最小，并直接写出的最小值；
（2）如图2，E在x轴上运动，当为等腰三角形时，求点E的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．