【推荐1】如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共的顶点A，连BG、DE，M为DE的中点，连AM.

（1）如图1，AE、AG分别与AB、AD重合时，AM和BG的大小和位置关系分别是­       、_ ____；
（2）将图1中的正方形AEFG绕A点旋转到如图2，则（1）中的结论是否仍成立？试证明你的结论；
（3）若将图1中的正方形AEFG绕A点逆时针旋转到正方形ABCD外时，则AM和BG的大小和位置关系分别是­__________、____________，请你在图3中画出图形，并直接写出结论，不要求证明.

【推荐2】等边△ABC中，点H在边BC上，点K在边AC上，且满足AK=HC，连接AH、BK交于点F,

(1)如图1，求∠AFB的度数；
(2)如图2，连接FC，若∠BFC=90°，点G为边 AC上一点，且满足∠GFC=30°，求证：AG⊥BG;

【推荐3】如图，在和中，，，，DE与AC交于点F，连接BD、CE．

(1)求证：；
(2)延长ED，交BC于点G，若，此时AD与BD有怎样特殊的位置关系，请写出你的猜想，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当时，连接CD，若，求的面积．

【推荐1】如图：在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求证是等边三角形；
（2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由；
（3）在y轴上是否存在一点P．使的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点．

(1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；
(2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；
(3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值．

【推荐3】如图1，A，B分别在射线，上，且为钝角，现以线段，为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，，点C，D，E分别是，，的中点，平行且等于，平行且等于．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，延长，交于点，若，求证：为等边三角形；

【推荐1】如图，以的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若，求的值．

【推荐2】已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α （0°＜α≤90°）．

（1）观察猜想
如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系：　 　，位置关系：　 　；
（2）类比探究
如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．

【推荐3】如图，在中．，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P作，点M在上方，且，以为边作▱．设点P的运动时间为t秒．

(1)线段的长为 　　．
(2)求▱的面积．（用含t的代数式表示）
(3)当线段与边有公共点时，求t的取值范围．
(4)当点M到任意两边所在直线的距离相等时，直接写出此时t的值．