【推荐1】综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：
如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　               ，            °；

(2)类比探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展延伸：
如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则           ；

(4)实践应用：
如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为          ．

【推荐2】如图，四边形是正方形，点E，F分别在，上，点H在的延长线上，且．
   
(1)求证：①；②；
(2)尺规作图：以线段，为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【推荐1】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（2）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上；
（3）若以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

【推荐3】定义：如果三角形上有两点，其中一点为一边的中点，且这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们就称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1，在中，D是的中点，点E在上，若，则为的一条“等分周线”．
概念理解
（1）任意三角形的“等分周线”有______条，若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是______．
规律探究
（2）如图1，在中，为的一条“等分周线”．若，，，求的长．（用含m，的代数式表示）．
拓展应用
（3）如图2，在四边形中，，平分，，点E在线段上，连接，，且，，，求的长．

【推荐1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．

(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明；
(2)若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．

【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．

【推荐1】如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.

【推荐3】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，
（1）⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．
（3）已知⊙O 的半径2，∠ACB=40°，求BA的长．（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1）