【推荐2】如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，．
   
(1)求的大小；
(2)若，，，求的长．

【推荐3】在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．

(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．

【推荐1】如图，在平面直角坐标原中，已知抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0， - 1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求点D坐标，并把抛物线解析式写成y=a（x-h）² + k的形式；
（2）若点M抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，以每秒1个单位的速度运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t > 0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB = 90°?
（3）若平移该抛物线使其顶点D沿着直线移动到点D′（ - 1，m），点C的对应点为C′，请直接写出抛物线上CD段（抛物线上曲线部分）扫过的区域的面积．

【推荐2】如图，长方形ABCD在直角坐标系中，边BC在x轴上，B点坐标为（m，0）且m＞0．AB=a，BC=b，且满足b=.
（1）求a，b的值及用m表示出点D的坐标；
（2）连接OA，AC，若△OAC为等腰三角形，求m的值；
（3）△OAC能为直角三角形吗？若能，求出m的值；若不能，说明理由．

【推荐3】背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．
例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．

学习小组继续探究：
（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．
学以致用：
（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．

【推荐1】如图，在四边形中，，．

(1)求证：．
(2)若，，点P从A点出发，同时点Q从B点出发，以的速度沿BC向终点C匀速运动，当其中一点到达终点时，设运动时间为t（s）．
①t为何值时，四边形的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BDx轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．

(1)求直线y＝3x+b 的表达式；
(2)求k的值．
(3)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EFBD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．

【推荐3】如图①，在四边形中，，，，，．点P在上，连接、、．

(1)求的长；
(2)探索：是否存在这样的点P，使得平分、平分同时成立？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
(3)如图②，与相交于点E，过点P作，与相交于点F．设、的面积分别为．若，求的长．

【推荐1】如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，到点停止．当点不与的顶点重合时，过点作其所在直角边的垂线交于点，再以为斜边作等腰直角三角形，且点与的另一条直角边始终在同侧，设与重叠部分图形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）．
求的长（用含的代数式表示）；
当为何值时点恰好落在上？
当点在边上运动时，求与之间的函数关系式；
如图，当为何值时，点恰好落在边上的高上？

【推荐2】如图1，在ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB=2．

(1)求证：AD=AE；
(2)如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF，求证：DF-EF=AF；
(3)请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论为____________．