【推荐1】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E点，交△ABC的外角平分线于点F．

(1)则线段OE与OF的关系为        ；
(2)当点O在边AC上运动时，四边形AECF会是矩形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
(3)当点O运动到AC中点时，直接写出△ABC满足      条件时，四边形AECF是正方形？

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝++c的图像经过点A(2，0)，且当x＝0和x＝10时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+6与二次函数y＝++c的图像相交于B，C两点，点B在第一象限．（备用公式：根据勾股定理可得，点A(，)与点B(，)之间的距离为AB=

(1)求二次函数y＝++c的表达式；
(2)连接AB，求AB的长；
(3)连接AC，设线段AC的中点是E，连接BE并延长到D，使ED=BE，连接AD，CD，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

【推荐3】【问题情境】
在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．
      
【操作发现】
（1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______；
②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______；
（2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，
①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______；
②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论；
【实践探究】
（3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______．

【推荐1】如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点．连接，交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，且m≠0，点B的坐标为(n，0)，将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段B P₁，B P₂，称点P₁，P₂为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

(1)已知点A(0，4)，
①当点B的坐标分别为(1，0)，(-2，0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为     ；
②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；
(2)如图2，点C的坐标为(-3，0)，以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．

【推荐3】如图，为⊙的直径，为弦的中点，连接并延长，交弧于点，过点作⊙的切线，交的延长线于点．

（1）求证：AC∥DE；
（2）连接、、．填空
①当的度数为___________时，四边形为菱形；
②当时，四边形的面积为___________．

【推荐1】如图，四边形是圆O的内接四边形，过点A作交的延长线于点E，，，连接．

(1)求证；
(2)若，，求圆O的半径．

【推荐2】在正方形中，点是射线上一点，点是正方形外角平分线上一点，且，连接，．

（1）如图1，当是线段的中点时，直接写出与的数量关系；
（2）当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当时，请直接写出的度数．

【推荐3】如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E．

(1)求证：AD＝ED．
(2)当AE＝5，CE＝4，求⊙O的半径．
(3)设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连接OE，OD，若＝，求y的值．

【推荐1】【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．

【推荐3】如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．

(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．
①求四边形的面积；
②直线上有一动点,求周长的最小值．
(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．