定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为两倍四边形，其中这条对角线叫做两倍对角线，这条边叫做两倍边．
如图1，四边形
是平行四边形，
，延长
交
于点
，连结
交
于点
，
， 
．
（1）若
，如图2．
①当
时，试说明四边形
是两倍四边形；
②是否存在值
，使得四边形是两倍四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如图1，四边形与四边形都是两倍四边形，其中
与为两倍对角线，
与
为两倍边，求的值．
如图1，四边形
是平行四边形， ，延长交于点，连结交于点，， ．（1）若
，如图2．①当
时，试说明四边形是两倍四边形；②是否存在值
，使得四边形是两倍四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）如图1，四边形
与四边形都是两倍四边形，其中与为两倍对角线，与为两倍边，求的值．
更新时间：2020-06-27 11:09:33
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(0.4)
【推荐1】教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰
中，
．即
，∵
，∴
是个固定值．
(1)如图1，在矩形中，与
交于O，
，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则
的值为_________．
知识应用：
(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线
折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点
处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线
，的垂线，垂足分别为E和F，以
，
为邻边作平行四边形
，若
的周长是否为定值？若是，请求出
的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线
、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若
，请直接写出的面积_________．
中，．即，∵，∴是个固定值．(1)如图1，在矩形
中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________．知识应用：
(2)如图2，在矩形
中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．(3)如图3，当点P是等边．
外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________．
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较难
(0.4)
【推荐2】直线
经过点
，与抛物线
（a为常数，且
）相交于点
，
两点，当
的值最小时，
，设抛物线的顶点为
．
(1)求
的值；
(2)当直线与互相垂直时，求
点坐标；
(3)若抛物线与
轴负半轴交于点，点在轴上，当
时，求点的坐标．
经过点，与抛物线（a为常数，且）相交于点，两点，当的值最小时，，设抛物线的顶点为．(1)求
的值；(2)当直线
与互相垂直时，求点坐标；(3)若抛物线
与轴负半轴交于点，点在轴上，当时，求点的坐标．
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交
延长线于F时，求证：
．
交
、
交于点P，若P为
与
，M为线段
交
，
的最小值= ．
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(0.4)
【推荐1】如图1，▱ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且 点G在□ABCD内部．将BG延长交DC于点F．
（1）猜想并填空：GF DF（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）请证明你的猜想；
（3）如图2，当∠A=90°，设BG=a，GF=b，EG=c，证明：c2=ab．
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（2）请证明你的猜想；
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(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在平行四边形中，平分
交
于点，
于点，交于点
，且
，连接
．
，
，求的长度；
(2)如图2，若
平分
交于点
，
于点
，求证：
．
中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
，，求的长度；(2)如图2，若
平分交于点，于点，求证：．
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都是等腰直角三角形，
，连接
为邻边作
，连接
，
，当
时，直接写出
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4与反比例函数y=
（x＞0）的图象交于点A，与y轴交于点C．点B在x轴上，∠ABO=90°，AB=BO．
（1）求k的值；
（2）点D(m，0)在x轴正半轴上，连接AD，CD，
ACD是以AC为斜边的直角三角形．请用两种不同的方法求m的值．
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上（不与A重合），若
，请求出点E的坐标．
（4）若P为直线y=kx﹣4上的动点，Q为反比例函数y=（x＞0）的图象上的动点，且以点P、Q、O、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．
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ACD是以AC为斜边的直角三角形．请用两种不同的方法求m的值．（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上（不与A重合），若
，请求出点E的坐标．（4）若P为直线y=kx﹣4上的动点，Q为反比例函数y=
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(0.4)
【推荐2】阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：
中的符号决定图像的开口方向，
决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图
，抛物线上任意一点（
）（异于顶点
）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（
）叫这个点的“股高”，记作
；点（）到顶点（）的距离（
的长度）叫这个点的“弦长”，记作
；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作
．
由图1可得，对于函数
：
（1）当勾距为定值时
①
；股高和弦长均随增大而增大；
②
；偏角随增大而减小；
（如：函数
中，当
时，
；
）
（2）当偏角为定值时
，勾距、股高和弦长均随增大而减小；
（如：函数
中，当
时，
、
）
利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以为顶点的抛物线
与
轴相交于点，若抛物线
的顶点也是，并与直线相交于点
，与轴相交于点．
(1)函数
中，①当时，
________，②当
时，
________；
(2)如图2：以
为顶点作抛物线：和
与轴相交于点
与直线相交于点，与轴相交于点：
①当
时，设
，随的取值不同，
的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点M在抛物线
上，直线
与
的另一个交点为，记
的面积为
，
的面积为
，若
，请求出的值
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：
中的符号决定图像的开口方向，决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点（）（异于顶点）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（）叫这个点的“股高”，记作；点（）到顶点（）的距离（的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作． 由图1可得，对于函数
：（1）当勾距
为定值时①
；股高和弦长均随增大而增大；②
；偏角随增大而减小；（如：函数
中，当时，；）（2）当偏角
为定值时，勾距、股高和弦长均随增大而减小；（如：函数
中，当时，、）利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以
为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．(1)函数
中，①当时，________，②当时，________；(2)如图2：以
为顶点作抛物线：和与轴相交于点与直线相交于点，与轴相交于点：①当
时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；②若点M在抛物线
上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值
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交正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且
的面积等于27．
延长线于点D，设点P的横坐标为m，线段
轴，垂足为E，连接
，
，求
的长．
