【推荐1】射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上），求t值（单位：秒）．

【推荐3】如图，是⊙O的直径，点C在的延长线上，与⊙O相切于点D，，交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图①，几秒后△APQ的面积等于5cm²．
(2)如图②，若以点P为圆心，PQ为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得点C落在⊙P上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图③，若以Q为圆心，DQ为半径作⊙Q，当⊙Q与AC相切时
①求t的值．
②如图④，若点E是此时⊙Q上一动点，F是BE的中点，请直接写出CF的最小值．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，连接BD，∠BDE=∠A，⊙O的半径r=．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求线段CD的长；
（3）过点D作DH⊥BC于H，直接写出DB-DH的最大值．

【推荐1】如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，点B的坐标为（6，0），∠ABC＝60°．
（1）若点P是⊙A上的动点，则P到直线BC的最小距离是　 　．
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB→BC→CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．设点A运动的时间为t．
①求⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时t的取值；
②求⊙A在整个运动过程中所扫过的图形的面积．

【推荐2】（1）观察猜想：如图①，在和中，，，，连接，点是的中点，连接、，当点、、三点共线时，线段与线段的数量关系是_________，位置关系是_________．
（2）探究证明：在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图③，在和中，，，，连接，点是的中点，连结、，将绕点在平面内自由旋转，请直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．

【推荐3】如图1，线段AB，CD交于点O，连接AC和BD，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．

(1)如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形．
(2)如图3，已知边长为2的正方形ABCD，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合），连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当和为倍优三角形时，求：∠DAP的正切值．
(3)如图4，四边形ABCD内接于，和是倍优三角形，且∠ADP为倍优角，延长AD，BC交于点E．若，，求的半径．