【推荐1】如图，矩形中，对角线的垂直平分线交边于点，交边于点，分别连接和．

（1）根据题意将图形补画完整（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明四边形是菱形．

【推荐2】如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．

【推荐3】如图1，已知等边三角形ABC，点P为AB的中点，点D、E分别为边AC、BC上的点，∠APD+∠BPE=60°．
（1）①若PD⊥AC，PE⊥BC，直接写出PD、PE的数量关系：____;
②如图1，证明：AP=AD+BE
（2）如图2，点F、H分别在线段BC、AC上，连接线段PH、PF，若PD⊥PF且PD=PF，HP⊥EP．求∠FHP的度数；

【推荐1】如图，在中，，．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．

【推荐2】如图，A，B是上的两点，，C是的中点．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长．

【推荐1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝（）.P为边BC上一动点（不与B、C重合），过P点作PE⊥AP交直线CD于E.
(1)求证：△ABP∽△PCE；
(2)当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求的值；
(3)若=12，DE=1，求BP的长.

【推荐2】如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长.

【推荐3】图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，过点D作于点E．

(1)尺规作图：过点B作AC的垂线BF，垂足为F点．（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）的条件下，已知，求BF的长．

【推荐1】已知四边形是矩形，点在上，，与相交于点，且．

(1)求证:;
(2)求 的度数;
(3)若，求的长．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF．

(1)求证：AB＝CF；
(2)若，求DF的长．