【推荐1】问题提出：
（1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长．
问题解决：
（2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．
   

【推荐2】综合与实践
问题情境：
在矩形纸片中，E是边上一动点，F是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G．
猜想证明：
（1）当E是边的中点时．
①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明；
②如图2，连接．若点B的对应点G恰好落在对角线上，延长与边交于点P．求证：P是边的中点．
问题解决：
（2）如图3，当点B的对应点G落在边上时，与边交于点Q，连接．若，，，请直接写出的长．

【推荐1】综合与实践
问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．

   

(1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．
(2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．

【推荐1】已知矩形中，，，点是边的中点．
（1）如图，连接并延长，与的延长线交干点，问：线段上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．

（2）如图，把矩形沿直线折益，使点落在点上，直线与、、的交点分别为、、，求折痕的长．

（3）如图：在（2）的条件下，以点为原点、分别以矩形的两条边、所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系，若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图：若点为边上的一个动点，连结，以为边向下方作等边，连结，则的最小值是______．（请直接写出答案）