【推荐1】如图，在等腰中，，D是边上的中点，E点是上一点，连接，过C作，交延长线于点F，连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【推荐2】如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，连接．请找出图中所有相等的角，并说明理由．

【推荐3】已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等．

【推荐1】如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

(1)求证：；
(2)连接，，若，，，求的长．

【推荐2】已知．

（）作的外接圆⊙．
（）是⊙外一点，在⊙上找一点，使与⊙相切．

【推荐3】如图，是的直径，点F，C是上两点，连，平分，过点C作，交的延长线于点D．
   
(1)尺规作图：作出线段（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求线段的长．

【推荐1】已知直角三角板和直角三角板,,,.
(1)如图1,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当平分时,求的度数；
(2)在(1)的条件下,继续旋转三角板,猜想与有怎样的数量关系?并利用图2所给的情形说明理由；
(3)如图3,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当落在内部时,直接写出与的数量关系.
          

【推荐2】如图，在中，，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．

(1)如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
(2)当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．

【推荐3】阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5欲求∠APB的度数，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
请将下列解题过程补充完整．
∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=　     =3,CP′=　     　=4,∠　 　=∠APB.
由题意知旋转角∠PA P′=60°，∴△AP P′为　 　 三角形，
P P′=AP=3，∠A P′P=60°．
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=　 　 °+　 　°=      　 °.
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，
求证：EF²=BE²+FC²．

【推荐1】如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．

（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．

【推荐2】如图，E为的边延长线上的一点，连结交于点O，交于点F．

(1)求证：；
(2)求证：．

【推荐3】如图，纸板中，，，，P是边上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与相似的小三角形纸板．
   
(1)判断：为______（填“锐”“直”或“钝”）角三角形；
(2)如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是______．