【推荐1】如图 1，抛物线 交 x 轴于点 和点B，交 y 轴于点 ．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点M在抛物线上，且，求点M的坐标．
(3)如图 2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．

【推荐2】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)若为线段上方抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．

【推荐3】如图，抛物线y=ax²+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE//BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．
(1)连接DP，当t=1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？
(3)当t为何值时，△EDQ为直角三角形？

【推荐2】勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．

(1)连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．
(3)由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝______的面积；即在Rt△ABC中，AB²+BC²=______．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a，b满足，点P从点O出发，沿的路径以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．

（1）求线段的值．
（2）是否存在t，使得为等腰三角形，若存在，请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．
（3）当平分时，求t的值．
（4）线段绕点A按逆时针方向旋转90得到线段，连结，若该平面内存在点，使得与的面积相等，则m的值为_________________．

【推荐1】如图①，在正方形中，点分别是边上的动点，且，连接，过点作，使，连接．

（1）发现：请判断：与的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究：如图②，当点分别在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）延伸：如图③，若当点分别在延长线上时，正方形的边长为10，，其他条件不变，请直接写出四边形的面积．

【推荐2】如图，矩形ABCD中，点E为AB中点，连接CE，将顶点B沿CE折叠至点P处，连接AP并延长交边CD于点F，

(1)判断四边形AECF为的形状并说明理由；
(2)若点P同时可看作是B点绕C点顺时针旋转60°得到，求证：△APB≌△ECP；
(3)若AB=6，BC=4，求 的值