如果一条抛物线
（
）与
轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；若抛物线
（
）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则
．
（2）如图，△OAB是抛物线
（
）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（3）若抛物线
与直线
交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；若抛物线
（）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则 ．（2）如图，△OAB是抛物线
（）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（3）若抛物线
与直线交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
更新时间：2020-09-16 22:46:52
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【推荐1】如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
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(0.4)
【推荐2】已知
为等边三角形，取的边
中点
，连接
，如图1，易证
为等边三角形，将绕点
顺时针旋转，设旋转的角度
，其中
．
(1)如图2，当
，连接
，求证：
；
(2)在旋转过程中，当
超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点
交
于点
交
于点
，连接
，请问是否会平分
？如果是，求出，如果不是，请说明理由；
(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段
和
之间的数量关系，并说明理由．
为等边三角形，取的边中点，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中．(1)如图2，当
，连接，求证：；(2)在
旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接会交于一点，记交点为点交于点交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段
和之间的数量关系，并说明理由．
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，
．
边上，求证：
；
，求证：
；
，点
，
，
上，
，若
，直接写出
的度数（用含有
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【推荐1】【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形
中，若
，
，则四边形是“筝形”．
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点
是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，
，
，“筝形”
的顶点
是
的中点，点
，
，
分别在，
，
上，且
，求对角线
的长；
【拓展思考】
（3）如图3，在“筝形”中，，
，
，、分别是、上的点，
平分
，
，
，求“筝形”的面积．
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形
中，若，，则四边形是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”
，要求点是格点；【问题探究】
（2）如图2，在矩形
中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长；【拓展思考】
（3）如图3，在“筝形”
中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积．
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名校
【推荐2】已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB与△ 全等，∠OBA＋∠ADC＝ °；
②若OA＝a，OB＝b，则BD＝ ；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB与△ 全等，∠OBA＋∠ADC＝ °；
②若OA＝a，OB＝b，则BD＝ ；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．
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平分
，且交
于点
．
，
的中点，连接
，
．
．
，
时，求
的长．
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【推荐1】如图1，抛物线
：
交轴于点
，
，交
轴于点
.
（1）直接写出当
时，的取值范围是____________；
（2）点
在抛物线上，求
的面积；
（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点为原点
，得到抛物线
，直线
与抛物线交于
、
两点，点
是线段
上一动点（不与、重合），试探究抛物线上是否存在点
，点关于点的中心对称点
也在抛物线上.
：交轴于点，，交轴于点.（1）直接写出当
时，的取值范围是____________；（2）点
在抛物线上，求的面积；（3）如图2，将抛物线
平移，使其顶点为原点，得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，点是线段上一动点（不与、重合），试探究抛物线上是否存在点，点关于点的中心对称点也在抛物线上.
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名校
【推荐2】如图，矩形中，
．E为边上一动点，连接．作
交矩形的边于点F，垂足为G．
；
(2)若
，求的长；
(3)点O为矩形的对称中心，探究
的取值范围．
中，．E为边上一动点，连接．作交矩形的边于点F，垂足为G．
；(2)若
，求的长；(3)点O为矩形
的对称中心，探究的取值范围．
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中，点
绕点
旋转
得到点
，则点
的“影射点”
的坐标是_________；点
的“影射点”
的坐标是_________；
的图像上，其“影射点”
的图像上，则
的值是________；
的“影射点"，点
图像上一点，若
是以
为直角边的等腰直角三角形，求
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【推荐1】已知二次函数
．
(1)若函数图象经过点
，
，求抛物线的解析式；
(2)若
，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线
，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
(3)如图，在（2）的条件下，若
，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接
交于点Q，且
的最大值为
，求抛物线的函数解析式．
． (1)若函数图象经过点
，，求抛物线的解析式；(2)若
，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；(3)如图，在（2）的条件下，若
，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接交于点Q，且的最大值为，求抛物线的函数解析式．
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(0.4)
【推荐2】已知抛物线
，抛物线
，a是常数且．在平面直角坐标系中抛物线和抛物线
合起来的图形记作G．
(1)若点
在图像G上，则
___________；
(2)在（1）的条件下，当
时，求图像G的最大值与最小值的差；
(3)用含a的代数式分别表示抛物线和抛物线的顶点坐标；
(4)当图像G上的点到直线
的距离为2的点恰有3个时，直接写出a的值．
，抛物线，a是常数且．在平面直角坐标系中抛物线和抛物线合起来的图形记作G．(1)若点
在图像G上，则___________；(2)在（1）的条件下，当
时，求图像G的最大值与最小值的差；(3)用含a的代数式分别表示抛物线
和抛物线的顶点坐标；(4)当图像G上的点到直线
的距离为2的点恰有3个时，直接写出a的值．
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与它的对称轴相交于点
，与
是线段
），过
轴交直线
轴于
的面积等于
时点
