【推荐1】如图，点为正方形的对角线上的一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，是的外接圆，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．

【推荐2】如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

【推荐3】如图，点O在边长为8的正方形ABCD的AD边上运动(4<C)A<8)，以O为圆心，OA长为半径作圆，交CD于点E，连接OE、AE，过点E作直线EF交BC于 点F，且∠CEF＝2∠DAE．
(1)求证：直线EF为⊙O的切线；
(2)在点O的运动过程中，设DE＝x，解决下列问题：
①求OD·CF的最大值，并求此时半径的长；
②试猜想并证明△CEF的周长为定值．

【推荐1】如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于D．过点C作，连接AB交OP于点E．

（1）求证：PB是的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若且，求AB的长度．

【推荐2】如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求劣弧与弦所围图形的面积．
(3)若，，求的长．

【推荐3】如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．