【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．

【推荐2】如图，在中，，平分，于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在中，，，点在边上，、分别为、的中点，连接．过点作的垂线，与、分别交于、两点，连接，交于点．

(1)的度数为      ；
(2)与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(3)连接，求的面积的最大值．

【推荐2】已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．

（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．

【推荐3】如图，已知是的直径，是的弦，过点C的直线与的延长线相交于点P，且，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．

【推荐1】实践操作
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， ______°；当点E与点A重合时， ______°；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
深入探究
（2）若点P落在矩形的内部（如图③），且点E、F分别在边上，请直接写出的最小值．
   

【推荐2】在矩形纸片ABCD中，点M，N分别为边AD，BC的中点，点E，F分别在边AB，CD上，且AE＝CF．将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P，将△NCF沿NF折叠，点C的对应点为点Q．
（1）如图1，若点P，Q分别落在边BC，AD上，则四边形PMQN的形状是　 　；
（2）如图2，若点P，Q均落在矩形ABCD内部，直线MP与直线BC交于点G，其它条件不变，则第（1）小题的结论是否仍然成立？说明其理由；
（3）如图3，若AD＝10，AB＝6，当四边形PMQN为菱形时，直接写出BE的长度．

【推荐3】如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，求线段BF的长．