【推荐1】如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当时，求的面积；
（2）当t为何值时，线段恰好平分？
（3）当t为何值时，是等腰三角形？

【推荐2】已知一次函数的图象与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点．
   
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求直线的表达式；
(3)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出的取值范围．

【推荐3】如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）若点恰好在的角平分线上，求的值；
（2）若为等腰三角形，求的值．

【推荐1】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．

【推荐2】如图，已知中，，，，是边上的一个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）当为多少时，平分的周长；
（2）当为多少时，平分的面积，此时长度为多少；
（3）当为多少时，为等腰三角形．

【推荐1】定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”．

(1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补三角形”，，是“顶心距”．
①如图2，当时，与之间的数量关系为=　 　；
②如图3，当，时，的长为　 　．
(2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明．
(3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．

【推荐2】（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．

（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．

【推荐3】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

   

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是          ，若，则的长为         ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．