【推荐1】对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点C．当线段，的长度相等时，称点B为点A的等距点，称的面积为点A的等距面积．例如：如图，点，点，因为，所以点B为点A的等距点，此时点A的等距面积为．

(1)点A的坐标是，在点中，点A的等距点是　 　．
(2)点A的坐标是，点A的等距点在第三象限，
①若点A的等距面积为2，求此时点B的坐标 ；
②若点B的坐标是，求此时点A的等距面积；
③若点A的等距面积不小于，直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，AC⊥BC于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴，AC＝BC，AB＝8．

（1）求点C的坐标；
（2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向y的负半轴方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，连接DG交直线BC于点F．设D、G两点运动时间为t秒，△DOF的面积为s，请用t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点F作FP⊥DF，过点C作x轴的平行线交FP于点P，连接AD，是否存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较大值称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，则称，两点为“等距点”．

(1)如图1，已知点的坐标为．
①点的“长距”是       ；
②在点，，中，为点 “等距点”的是       ；
③若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则的值为       ；
(2)如图2，等腰三个项点的坐标分别为，，．
①点为等腰的边上一个动点（可以与、重合），令点的“长距”为，则的取值范围为       ；
②点为等腰腰上的一个动点，若平面中个存在点，使得、两点为“等距点”．请直接写出符合条件的所有点组成的图形的面积       ．

【推荐1】问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．


初步思考
(1)如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②点与点______关于互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形中，，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．

【推荐2】已知≌，．
（1）将和按图①方式摆放，使经过点，延长交线段于点．试判断线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将和按图②方式摆放，延交线段于点．请直接写出、、之间的数量关系______．
（3）将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点．请直接写出线段、、之间的数量关系：______．

【推荐3】如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（2）如图3，在非等腰中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【推荐1】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．

(1)发现
①∠DCE的度数是        ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是        ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点．
（1）若点（m，4）在抛物线上，则代数式m²﹣2m的值是　 　；
（2）连接PC、PB，当∠PCB＝∠PBC时，求点P的坐标；
（3）以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，当点P从点D运动到点E的过程中，求出点Q经过路径的长度是多少？
   

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，连接BC，AC，设AC关系式为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是直线AC下方抛物线上一点，于点E，轴于点F，DF与AC交于点G．
①当时，求点D的横坐标；
②当△CDG是等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

【推荐2】如图，为的直径，弦，垂足为点 P，直线与延长线交于点F，且．
   
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长；
(3)若，则，求线段的长．

【推荐3】已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，时，求tan∠BPC．