已知：等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB方向运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D．
（1）如图，若点P在线段AB上时，过点P作PE⊥AC于E，线段DE的长是否改变？证明你的结论．
（2）若点P在AB的延长线上，以上结论还成立吗？试画出图形，并证明你的结论．
（1）如图，若点P在线段AB上时，过点P作PE⊥AC于E，线段DE的长是否改变？证明你的结论．
（2）若点P在AB的延长线上，以上结论还成立吗？试画出图形，并证明你的结论．
更新时间：2020-10-17 17:26:46
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(0.4)
【推荐1】综合与探究
(1)如图1，在正方形
中，点E，F分别在边
上，且
，则线段
与
的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，
，
，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在
中，
，
，
，D为
上一点，且
，连接
，过点B作
于点F，交
于点E，求
的长．
(1)如图1，在正方形
中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；(2)【类比探究】如图2，在矩形
中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在
中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
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【推荐2】在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，边BC的中点为原点O，点A在y轴上，在线段AB上有一点D（点D不与A、B重合），过点D作AB的垂线，分别交y轴和线段AC于点E和点F，连接DO，若∠AFD=2∠AOD．
(1)如图1，求∠BDO的度数；
(2)如图2，延长DF交x轴于点G，若EO=CG，AO=6
，求点E的坐标；
(3)如图3，在（2）问的条件下，若AD+CF=11，AD：AF=3：5，求BD的长．
(1)如图1，求∠BDO的度数；
(2)如图2，延长DF交x轴于点G，若EO=CG，AO=6
，求点E的坐标；(3)如图3，在（2）问的条件下，若AD+CF=11，AD：AF=3：5，求BD的长．
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BG
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【推荐1】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图，若DF⊥AC，垂足为F，证明：DE=DF
（2）如图，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．DE=DF仍然成立吗？说明理由．
（3）将∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，DE=DF仍然成立吗？ 直接说出结论，不必说明理由．
（1）如图，若DF⊥AC，垂足为F，证明：DE=DF
（2）如图，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．DE=DF仍然成立吗？说明理由．
（3）将∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，DE=DF仍然成立吗？ 直接说出结论，不必说明理由．
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【推荐2】如图，已知
，
，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在
的延长线上，
交
于F，且
．
(1)求证：
；
(2)求证：平分
；
(3)若在D点运动的过程中，始终有
在此过程中，
的度数是否变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．
，，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在的延长线上，交于F，且．(1)求证：
；(2)求证：
平分；(3)若在D点运动的过程中，始终有
在此过程中，的度数是否变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．
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，若
，
，
，若
，求点D的坐标；
于点F，以
为边作等边
，连接
交
于点N，点E在
，连接
的数量关系．
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【推荐1】如图，平行四边形中，
是的中点，
是边上的动点，
的延长线与的延长线交于点
，连接
．
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)①当
______
时，四边形是矩形；（直接写出答案，不需要说明理由）
②当______时，试说明四边形是菱形；
中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形
是平行四边形；(2)①当
______时，四边形是矩形；（直接写出答案，不需要说明理由）②当
______时，试说明四边形是菱形；
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【推荐2】如图，正方形中，E，F，G分别是
上的中点，连结
，连结CG分别交
于点M，N，交于点H．
(1)求证：
；
(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，若
，设
．
①求
的长；
②当
时，用含代数式表示四边形
的面积；
③在P，Q整个运动过程中，当P，Q与四边形
的两个顶点构成平行四边形时，求t的值．
中，E，F，G分别是上的中点，连结，连结CG分别交于点M，N，交于点H． (1)求证：
；(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，若
，设．①求
的长；②当
时，用含代数式表示四边形的面积；③在P，Q整个运动过程中，当P，Q与四边形
的两个顶点构成平行四边形时，求t的值．
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【推荐3】【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图 1，在
中，点 D 在上，E 在上，
．若
，
，则
， 
；
（2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在
、上，且． 求证：
．
证明：过点作的平行线交于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实 ，补充上面的证明过程；
【深入探究】
（3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、
或其延长线交于 D、F、E 点，那么
是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；
（4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，
．则 
．
【初步体验】
（1）如图 1，在
中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ；（2 ） 已知，如图 1 ，在
中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：．证明：过点
作的平行线交于点 F… … … … … …
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的
【深入探究】
（3 ）如图 2，如果一条直线与
的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；（4） 如图 3 ，在
中，D 为 的中点，．则 ．
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