【推荐1】如阁，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P从点A出发，沿折线AC﹣BC以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，在边AB上取一点Q，满足∠PQA＝2∠B，过点Q作QM⊥PQ，交边BC于点M，以PQ、QM为边作矩形PQMN，设点P的运动时间为t秒
（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）当矩形PQMN为正方形时，求t的值；
（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式；
（4）作点A关于直线PQ的对称点A′，作点C关于直线PN的对称点C′，当点A′、C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN内部时，直接写出此时的t取值范围．

【推荐2】（1）如图①，在菱形中，、分别是边、上的点，连接、，且．求证：．下面是小文对这道试题的思考，先研究特殊情况，再证明一般情况．
（1）如图②，当于点时，请在下列框图中补全他的证明思路．小文的证明思路：

要证，只要证．由已知条件知四边形是菱形，可得，________．故只要证．由________，得，故只要证，即证．易证，故只要证________，由已知条件知，易证，即可得证．

（2）如图①，当与不垂直时，……请你完成证明．小文完成证明后，又进一步思考，提出下列问题，请你完成解答．
（3）如图③，在菱形中，、分别是、延长线上的点，且．若，，，则四边形的面积是________．

【推荐3】如图1，在正方形中，点G在射线上，从左往右移动（不与点B，C重合），连接，作于点E，于点F，设．
      
(1)求证：；
(2)连接，设，，求证：点在G射线上运动时，始终满足
(3)如图2，设线段与对角线交于点H，和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为和，当点G在的延长线上运动时，求（用含k的代数式表示）．

【推荐1】如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

   

【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．

【推荐2】如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，且交AG于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）如图2，若AB＝，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积为______．

【推荐1】在中，D为中点，与射线分别相交于点E、F（射线不经过点D）．

(1)如图①，当时，连接并延长交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(2)如图②，当于点E，于点F时，分别取的中点M、N，连接．求证：．

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点 F，使AE＝CF，连结EF交AB于点M，交CD于点N，连结DM、BN.
(1)求证：△EMD≌△FNB；
(2)试判断四边形BMDN的形状，并证明你的结论．

【推荐3】已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．

(1)如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于的长的线段．

【推荐1】（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．

【推荐2】如图，正方形的对角线、相交于点，是边上一点，连接交于，过点作，垂足，交于点．

(1)求证：．
(2)若是的中点，平分，求证：

【推荐3】
(1)【探究发现】如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，则图中出现4个直角三角形，在中，，则有，据此探索与的值是否相等，并说明理由．
(2)【拓展迁移】如图2，以三角形的边为边向外作正方形和正方形，求证：．
(3)如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE，若，求的长．