请先阅读下列一组内容,然后解答问题:
∵;;;….,
∴+++…+
=…
=….
计算:
(1)+++…+;
(2)已知|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数,求:.
(3)+++…+.
∵;;;….,
∴+++…+
=…
=….
计算:
(1)+++…+;
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(3)+++…+.
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更新时间:2020-11-21 09:24:59
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【推荐1】如图,在数轴上,点A、点B所表示的数分别是a和b,点A在原点右边,点B在原点左边,它们相距24个单位长度,且点A到原点的距离比点B到原点的距离大8,点P从点A出发,以每秒3个单位的速度向数轴负方向运动,到达点B后,立即以相同的速度反向运动;点Q从点B出发,以每秒1个单位的速度向数轴负方向运动,两点同时出发,设运动时间为t秒.
(1)a= ,b= ;
(2)当点P、点Q所表示的数互为相反数时,求t的值;
(3)当点P、点Q与原点的距离之和为22时,求t的值.
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【推荐1】【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把n个a(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:2③= ,(﹣)⑤= ;
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(1)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方的形式.
(﹣3)④= ;5⑥= ;(﹣)⑩= .
(2)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ;
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把n个a(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈n次方”.
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【推荐2】对于个位数字不为0的任意一个两位数,交换十位数字和个位数字的位置,得到一个新的两位数,记,.
例如:当时,则,,.
(1)计算和的值;
(2)若一个两位数(,都是整数,且,),是一个整数的平方,求满足条件的所有的值.
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【推荐1】观察以下等式:
将以上三个等式两边分别相加得:
(1)猜想并写出:____________.
(2)直接写出下列各式的计算结果:
①_____________;
②___________.
(3)探究并计算:
(4)___________.
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【推荐2】定义:
如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差,那么称正整数n为“智慧数”,即:若正整数n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b),则称正整数n为“智慧数”.例如:∵5=32-22,∴5是“智慧数”.根据定义,直接写出最小的“智慧数”是 .
提出问题:
如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是哪位数?
探究问题:
要解答这个问题,我们先要明白“智慧数”产生的规律.
探究1:“智慧数”一定是什么数?
假设n是“智慧数”,则至少存在一组正整数a、b,使n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b).
情况1:a、b均为奇数,或均为偶数.
分析:
∵a、b均为奇数,或均为偶数
∴(a+b)、(a-b)均为偶数
此时不妨设(a+b)=2c,(a-b)=2d
又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd
∴a2-b2为4的倍数,即n为4的倍数.
情况2:a、b为一奇数、一偶数.
分析:
∵a、b为一奇数、一偶数
∴(a+b)、(a-b)均为奇数
此时不妨设(a+b)=2c1,(a-b)=2d1
又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd2c2d1
∴a2-b2为奇数,即n为奇数.
综上所述:“智慧数”为奇数或4的倍数.
探究2:所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗?
我们先从最简单的情形入手,从中找到解决问题的方法,最后得出一般性的结论.
先举例几组数值较小,容易验证的“智慧数”(①--⑧),因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数,所以我们把这“智慧数”分成两类.
情况1:n是奇数
观察①②③④中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是奇数,且a、b的值均为连续的正整数.
猜想:所有奇数都是“智慧数”.
验证:设a=k+1,b=k(k≥1,且k为整数)
∵a2-b2=(k+1)2-k2=2k+1
∴2k+1是“智慧数”
又∵k≥1
∴2k+1≥3,即2k+1表示所有奇数(1除外)
∴所有奇数(1除外)都是“智慧数”
应用:
请直接填空:∵11= 2- 2 ∴11是“智慧数”
情况2:n是4的倍数.
观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是4的倍数,且a、b的差都为2.
猜想:所有4的倍数都是“智慧数”.
验证:设a=k+2,b=k(k≥1,且k为整数)
∵a2-b2=(k+2)2-k2=4k+4
∴4k+4是“智慧数”
又∵k≥1
∴4k+4≥8,即4k+4表示所有4的倍数(4除外)
∴所有4的倍数(4除外)都是“智慧数”
应用:
请直接填空:∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”
归纳“智慧数”的发现模型:
(1)对所有的正整数而言,除了1和4之外,其余的奇数以及4的倍数是智慧数.
(2)当1≤n≤4时,只有1个“智慧数”;
当n≥5时,如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序,依次每 个连续正整数分成一组(注:组与组之间的数字互不重复),则每组有 个“智慧数”,且第 个数不是“智慧数”.
问题解决:
直接写出:如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是 .
实际应用:
若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米,已知一条直角边长是12cm,则这个直角三角形纸片的周长最大是 cm.
如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差,那么称正整数n为“智慧数”,即:若正整数n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b),则称正整数n为“智慧数”.例如:∵5=32-22,∴5是“智慧数”.根据定义,直接写出最小的“智慧数”是 .
提出问题:
如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是哪位数?
探究问题:
要解答这个问题,我们先要明白“智慧数”产生的规律.
探究1:“智慧数”一定是什么数?
假设n是“智慧数”,则至少存在一组正整数a、b,使n=a2-b2(a,b为正整数,且a>b).
情况1:a、b均为奇数,或均为偶数.
分析:
∵a、b均为奇数,或均为偶数
∴(a+b)、(a-b)均为偶数
此时不妨设(a+b)=2c,(a-b)=2d
又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd
∴a2-b2为4的倍数,即n为4的倍数.
情况2:a、b为一奇数、一偶数.
分析:
∵a、b为一奇数、一偶数
∴(a+b)、(a-b)均为奇数
此时不妨设(a+b)=2c1,(a-b)=2d1
又∵n=a2-b2=(a+b)(a-b)=4cd2c2d1
∴a2-b2为奇数,即n为奇数.
综上所述:“智慧数”为奇数或4的倍数.
探究2:所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗?
我们先从最简单的情形入手,从中找到解决问题的方法,最后得出一般性的结论.
先举例几组数值较小,容易验证的“智慧数”(①--⑧),因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数,所以我们把这“智慧数”分成两类.
情况1:n是奇数 | ||
分析n=a2-b2 | 结论 | |
① | 3是“智慧数” | |
② | 5是“智慧数” | |
③ | 7是“智慧数” | |
④ | 9是“智慧数” | |
…… | …… | …… |
情况2:n是4的倍数 | ||
分析n=a2-b2 | 结论 | |
⑤ | 8是“智慧数” | |
⑥ | 12是“智慧数” | |
⑦ | 16是“智慧数” | |
⑧ | 20是“智慧数” | |
…… | …… | …… |
观察①②③④中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是奇数,且a、b的值均为连续的正整数.
猜想:所有奇数都是“智慧数”.
验证:设a=k+1,b=k(k≥1,且k为整数)
∵a2-b2=(k+1)2-k2=2k+1
∴2k+1是“智慧数”
又∵k≥1
∴2k+1≥3,即2k+1表示所有奇数(1除外)
∴所有奇数(1除外)都是“智慧数”
应用:
请直接填空:∵11= 2- 2 ∴11是“智慧数”
情况2:n是4的倍数.
观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值,容易发现,每个算式中,n均是4的倍数,且a、b的差都为2.
猜想:所有4的倍数都是“智慧数”.
验证:设a=k+2,b=k(k≥1,且k为整数)
∵a2-b2=(k+2)2-k2=4k+4
∴4k+4是“智慧数”
又∵k≥1
∴4k+4≥8,即4k+4表示所有4的倍数(4除外)
∴所有4的倍数(4除外)都是“智慧数”
应用:
请直接填空:∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”
归纳“智慧数”的发现模型:
(1)对所有的正整数而言,除了1和4之外,其余的奇数以及4的倍数是智慧数.
(2)当1≤n≤4时,只有1个“智慧数”;
当n≥5时,如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序,依次每 个连续正整数分成一组(注:组与组之间的数字互不重复),则每组有 个“智慧数”,且第 个数不是“智慧数”.
问题解决:
直接写出:如果按照从小到大的顺序排列起来,那么第2022个“智慧数”是 .
实际应用:
若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米,已知一条直角边长是12cm,则这个直角三角形纸片的周长最大是 cm.
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