【推荐1】如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．
①求点F的坐标；
②求四边形ADEF的面积；
（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，已知抛物线的顶点坐标为，与轴分别交于，两点，与轴交于点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，过作交抛物线于点．点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，连接，．当面积最大时，求此时点的坐标及面积的最大值；
（3）将抛物线沿水平方向平移一定的距离，平移后的抛物线的顶点为，在平面直角坐标系中，是否存在一点，使以点，，，为顶点且以线段为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）在第二象限内的抛物线上确定一点，使四边形的面积最大．求出点的坐标．
（2）点为抛物线上一动点，轴上是否存在一点，使点、、、的顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积；
(3)若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长；
(4)已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】（湖北省孝感市云梦县2018届九年级中考数学一模试卷）直线y=−x+2与x轴、y轴分别交于点A、点C，抛物线经过点A、点C，且与x轴的另一个交点为B（−1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点．
①如图1，若CD=AD，求点D的坐标；
②如图2，BD与AC交于点E，求S_△CDE：S_△CBE的最大值．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段的中点，且平移后抛物线的对称轴与轴交于点．，是直线上任意两点，为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－2，0)，C(6，0)．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴的负半轴上，坐标为(0，－2)．
(1)求抛物线所对应的函数表达式，并直接写出四边形OADE的形状；
(2)当点P，Q分别从C，F两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿CB，FA的方向运动，点P运动到点O时P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，以P，Q，O，M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
        

【推荐3】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．