【推荐1】综合与实践
问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．

   

(1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．
(2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．

【推荐3】如图，边长为的等边三角形中，分别是边的中点，点从点沿着折线运动，连接，绕点逆时针旋转到点．

(1)如图1，当点在上运动时，求的度数；
(2)如图2，连接，设点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为，请求出的面积关于的函数关系式；并指出的取值范围；
(3)当是直角三角形时，直接写出此时的长．

【推荐3】如图，为的直径，弦于点，直径交弦于点，弦分别交，于点M，G，连接．

(1)①填空：与相等的弧有 ___________．
②求证：．
(2)若，求的度数．
(3)当时，，求的长．

【推荐1】已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．．

(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；
(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值．

【推荐2】【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：

如图1-1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度数．
(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到，连接，得到等边．请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数；
(2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P．如图2，连接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接PA，PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，连接BQ，取BQ的中点M，连接AM，PM，试判断是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．