【推荐1】如图，已知射线CD∥OA，点E、点F是OA上的动点，CE平分∠OCF，且满足∠FCA＝∠FAC．
（1）若∠O＝∠ADC，判断AD与OB的位置关系，证明你的结论．
（2）若∠O＝∠ADC＝60°，求∠ACE的度数．
（3）在（2）的条件下左右平行移动AD，∠OEC和∠CAD存在怎样的数量关系？请直接写出结果（不需写证明过程）

【推荐2】已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β
（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【推荐3】 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．

(1)求证：；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；
(3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F．
①求证：当时， 平分；
②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点,点C在y轴的负半轴上，连接,满足．

(1)求直线的解析式；
(2)己知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】点为正方形的边上一动点，直线与相交于点，与的延长线相交于点．

(1)如图①，若正方形的边长为2，设，的面积为，求与的函数关系；
(2)如图②，求证：是的外接圆的切线；
(3)如果把正方形换成是矩形或菱形，（2）的结论是否仍然成立？

【推荐3】如图，在直角△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作，交直线AB于点G．

(1)如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是_____________；
(2)如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是___________，并证明你的结论；
(3)如图3，在（2）的条件下，若DF＝3，GF＝5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM＝1时，直接写出线段NG的长．

【推荐1】在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索
（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．
在图2中，，，，，，；则__________．

归纳证明
（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
实际应用
（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．

【推荐2】社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图，，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在∠MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
【动手操作，归纳发现】
（1）通过测量图、、中线段、、和的长，他们猜想的周长是长的_____倍．请你完善这个猜想

【推理探索，尝试证明】
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图，过点作，垂足为点
则

又四边形正方形，
，
则

在与中，
【类比探究，拓展延伸】
（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、与长度之间的等量关系为          ．

【推荐3】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．