【推荐1】如图，△ ABC和△ CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．

(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠APM的度数；
(3)连接MN，求证：△ CMN是等边三角形．

【推荐2】已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．

   

(1)求证：；
(2)若，求的周长．

【推荐3】在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为　 　；②△ABC面积的最大值为　 　；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为　 　．

【推荐1】如图，已知是的直径，点，在上，连接，和．过点作交于点，与相交于点，为延长线上一点，是的切线．

（1）求证：：
（2）若点是中点，，，求的长．

【推荐2】如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．

(1)求证：；
(2)求证：．

【推荐3】如图，为的直径，切于点D，于点C，交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，已知半径为2的与直线l相切于点A，点P是直径左侧半圆上的动点，过点P作，垂足为点C，与交于点D，连接，设的长为式．

(1)当时，求弦的长度；
(2)用含有x的代数式表示，并求出当x为何值的值最大？最大值是多少？．

【推荐2】如图，为的直径，点、在上，连接、、、，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，若．
   
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．

【推荐3】如图，为的直径，半径于，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，点B是EF中点．

(1)若，时，求的半径．
(2)求证：；