【推荐1】二次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．

【推荐2】如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．

(1)求出点A、点B的坐标和该二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．
①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）；
②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
(3)如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，是的直径，点D是上一点，于点C.
（1）如图①，连接，若点C是的中点，求的大小；
（2）如图②，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F，且.若的半径为2，求的长.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数：与：分别经过轴上的点，点，交于点，点为直线上一点．

   
(1)求点的坐标；
(2)若点的横坐标小于点的横坐标，连接，，当和的面积相等时，求点的坐标；
(3)在上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线的顶点为，对称轴是直线，与轴的交点为和．将抛物线绕点逆时针方向旋转，点为点旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于两点．

(1)写出点的坐标及求抛物线的解析式；
(2)求证：三点在同一直线上；
(3)设点是旋转后抛物线上之间的一动点．是否存在一点，使四边形的面积最大？如果存在，请求出四边形的面积；如果不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积；
(3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由．

【推荐1】综合与探究．
如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．若设E点的横坐标为t，则请你求出△BCE面积S与t之间存在怎样的函数关系；
（3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，已知A(-1，0)、C、(0，-2)，以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线 l∥y轴．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．   

（1）点E的坐标为 ________，该抛物的函数表达式为_______；       
（2）设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA=∠MBA?若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．       
（3）过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度／秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

【推荐3】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为，点为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上，两点之间的距离是________；
（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值；
（4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标．