【推荐1】已知：如图，在中，为的中点，，垂足分别为，且．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．

【推荐2】如图1所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD与直线AC交于点G，若AB＝CD
（1）DE与BF相等吗？为什么？
（2）BG与DG相等吗？说明理由．
（3）若将DEC的边EC沿AC方向移动，变为图2时，其余条件不变，（1）（2）的结论是否成立？请说明理由

【推荐3】如图1，在正方形中，点E为边上一点，连接，点M在边上运动．
   
(1)如图2，当点M和点C重合时，过点C作的垂线，垂足为点P，交直线于点N．请直接写出与的数量关系：________．
(2)如图3，过点M作的垂线，垂足为点P，交直线于点N，试证明（1）中的结论仍成立．
(3)如图4，N为直线上一点，若，请问是否始终能证明？请说明理由．

【推荐1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
   

【推荐2】如图，在四边形中，平分，，点E，F分别在，上，．求证：．

【推荐3】如图，在直角 中，∠C=90°，DC = 2，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AB．求∠B的度数和DB的长．

【推荐2】请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图．
（1）如图1，内接于，，画出线段的垂直平分线．
（2）如图2，内接于，，、分别为和的中点，画出线段的垂直平分线．

【推荐3】小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形。下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线．
          
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M，直线交于点E，则（　　）（填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹．