【推荐1】已知：点和直线
求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），点B（5，1）．

（1）只用直尺（无刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等； ②点P到∠xOy的两边的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
（2）在（1）作出点P后，点P的坐标为_________．

【推荐1】如图，是矩形的对角线，过的中点O作，交于点E，交于点F，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的周长．

【推荐2】如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，求的值．
       

【推荐3】如图，在中，，顶点在反比例函数的图象上．
   
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用尺规作图画出线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接，若，求的度数．

【推荐1】请你根据要求作图，保留作图痕迹（不要求写作图过程）

（1）请试一试用一把三角尺，找出图①中圆的圆心，并写出作图的依据．
（2）据第（1）题中的作图经验，请你仅用无刻度的直尺和圆规在图②的中作出边上的高．

【推荐2】如图，已如中，平分．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接；（不写作法，保留清晰的作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：平分
①      
是线段的垂直平分线，
，
在和中，

（③      ）.
④      
是线段的垂直平分线，
⑤      
．

【推荐3】如图，已知四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）
①连接；
②作的垂直平分线交，于，；
③连接，；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．

【推荐1】若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）
问题探究：

（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tanC＝，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，试说明∠CBD=∠BAC的理由
解：过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
则∠AEC=90°（                    ）
在△AEC中，∠AEC+∠EAC+∠C=180°（                            ）
所以∠EAC+∠C=90°（                      ）
因为BD是AC边上的高（已知）
所以∠BDA=______________（三角形高的意义）
因为∠BDA=∠CBD+∠C（                            ）
所以∠C+∠CBD=90°（等量代换）
所以∠EAC=∠CBD（                  ）
因为AB=AC（已知），AE⊥BC（已作）
所以∠EAC=∠BAC（                              ）
所以∠CBD=∠BAC（等量代换）

【推荐3】（1）感知：如图1，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．则线段与的数量关系是_______，的面积为_______（用含的式子表示）；
   
（2）应用：如图2，在一般的中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，用含的式子表示的面积，并说明理由．
   
（3）拓展：如图3所示，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转，当，连接，若的面积为9，则的长为_______．