【推荐2】在正方形中，点是边上点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转，到线段，连接．

(1)如图，连接，判断线段与线段的数量关系给出证明．
(2)如图，若正好经过点．
①直接用等式表示线段、和的数量关系为______．
②证明：．
(3)如图，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度．

【推荐3】在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，是半圆的直径，点，是半圆上的点，且，连结交于点．

(1)若，求的长．
(2)如图2，连接，，，若，求的正弦值．
(3)如图3，连接，作交于点，连接．求证：．

【推荐3】如图，直线y=mx与反比例函数y=（x＞0）的图象交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y=的图象上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图象于点A，已知点A的纵坐标为．
（1）求反比例函数及直线OP的解析式；
（2）连接OB，求△BOP的面积和sin∠BOP的值．
（3）在x轴上存在点N，使得△PON的面积与△POA的面积相等，请直接写出点N的坐标．
   

【推荐1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

【推荐2】已知，点I是△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），过点B作BP⊥BI交AI的延长线于点P．

（1）如图1，若BA＝BC,
①求证：BP∥AC；
②设∠BAC＝α（其中α为常数），求∠BCP；
（2）如图2，CM、BN为△ABC的角平分线，若BM＋CN＝6，∠BAC＝60°，请你直接写出点P到直线BC的距离的最大值等于___________．

【推荐3】如图1，以为直径的半圆上有一动点，点为弧的中点，连接、相交于点，延长到点，使得，连接、．

（1）求证：是的切线；
（2）如图2，连接，若，求的值；
（3）如图3，若，．求的长．