【推荐1】【感知】如图①，在中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：点是的中点，点是的中点；
【应用】如图②，在四边形中，，点是的中点，，的延长线相交于点，则_______；
【拓展】如图③，在中，点是的中点，点是上一点，，、相交于点，则_______．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，轴于轴于，连接．

(1)下列线段的长度分别为：______，______，______；
(2)如图2折叠，使点与点重合，折痕交于，交于．
①求点的坐标；
②在轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在中，．
   
(1)如图1，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：；
(2)如图2，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，求的长．

【推荐1】【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．
（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）
（2）连接BG，若，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．

【推荐2】如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．

   

(1)求证：；
(2)若．
①求的周长：
②若点E是的中点，是的平分线，求的长

【推荐3】探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长；
拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°．连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若∠EAF＝30°，AB＝4，则△ECF的周长是　 　．

【推荐1】如图1，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．

（1）求证：与相切；
（2）如图2，若，
①若，求线段的长；
②求的值．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E．

(1)若AG＝AD，求证：AB＝DF；
(2)设＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求的值．

【推荐3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC=DE，求tan∠ABD的值．

【推荐1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：．

【推荐3】人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？