【推荐3】小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为．
小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究．
下面是小东同学的探究过程，请补充完整．

x	0
	0						m					0

   

(1)根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______．
(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值．
通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）．
(3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象．
(4)结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）．

【推荐2】【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．

【推荐3】在中，，于点D，P为线段上的动点（不与点B、D重合），连接并将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，取的中点Q．
   
(1)依题意补全图形；
(2)用含的式子表示，并说明理由；
(3)点M为线段上一点，当与满足的数量关系为______时，对于任意的点P，总有．证明你的结论．

【推荐3】问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=10，AD=24，点E是AD的中点，点F在边AB上，且BF＝3，则四边形BCEF的面积是　　　　　；

（2）对于，当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
问题解决
（3）某社区为优化居民生活环境，现规划建一个四边形活动场地ABCD，如图②．按设计要求，四边形EFCD内部为室内活动区，其余为户外活动区，且满足AB＝AD＝100m，BC=160m，∠ADC=∠C=90^o，E，F分别在边AB、BC上，EF＝BE．为满足场所需要，想让室内活动区尽可能大．请问：是否存在符合设计要求的面积最大的四边形EFCD？若存在，求四边形EFCD面积的最大值及此时BF的长；若不存在，请说明理由．