【推荐1】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为P．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
　　
(1)[特例探索]
如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，______．
(2)[归纳证明]
请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．
(3)[拓展应用]
利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线中点，分别为线段，的中点，连接并延长交于点．分别交于点，如图4所示，求的值．

【推荐2】如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．
①BD与CE的数量关系为　      　；
②∠BPC的度数为　            　．
（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．
（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
已知，是的直径，，点在的半径上运动，，垂足为，，为的切线，切点为．

(1)如图1，当点运动到点时，求的长；
(2)如图2，当点运动到点时，连接、，求证：；
(3)如图3，当点运动到的中点时，连接，交于点，求的长．

【推荐1】已知为等边三角形，其边长为．点是边上一动点，连接．

(1)如图，点在边上且，连接交于点．
①求证：；
②求的度数；
(2)如图，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求与的函数关系式；
(3)如图，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，在点运动过程中，当的周长为时，求的长．

【推荐2】y＝﹣2x+4直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，交x轴于另一点C，如图所示．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．

【推荐1】已知：如图，AB为的直径，弦垂足为E，点H为弧AC上一点．连接DH交AB于点F，连接HA、BD，点G为DH上一点，连接AG，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接HC，若，求证：；
（3）如图3，连接交于点K，若点F为DG的中点，，求的值．

【推荐1】如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．
已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是　 　；
（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标x_K的取值范围；
（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）

（1）求边BC的长；
（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；
（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．

【推荐3】抛物线的对称轴是轴，与轴交于A、B两点且点坐标是，与轴交于点，且．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，若点是抛物线在第一象限上一点，且．求点坐标；
(3)如图3，是点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于点，请问是定值吗？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．