如图，在矩形
中，
，E是
上一点，且
，M是
上一动点，N是射线
上一动点，连接
并延长交
的延长线于点F，连接
，当
时，连接
．
（1）如图1，当点N在点C的左侧时，连接
与相交于点H，点K在
上，连接
．
①若
，求
的长；
②在①的条件下，若
，求证：
；
（2）如图2，当点N在点C的右侧时，过点E作
，垂足为G．若
，求
的值．
中，，E是上一点，且，M是上一动点，N是射线上一动点，连接并延长交的延长线于点F，连接，当时，连接．（1）如图1，当点N在点C的左侧时，连接
与相交于点H，点K在上，连接．①若
，求的长；②在①的条件下，若
，求证：；（2）如图2，当点N在点C的右侧时，过点E作
，垂足为G．若，求的值．
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更新时间：2021/04/29 17:14:31
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图，抛物线
与
轴相交于点
，与
轴相交于点
，顶点为
，连结
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点
，若
，求点坐标；
（3）在抛物线上一点
，若
有一个内角为45°，求点坐标．
与轴相交于点，与轴相交于点，顶点为，连结． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点
，若，求点坐标；（3）在抛物线上一点
，若有一个内角为45°，求点坐标．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】我们学习了图形的三大变换：平移、旋转与翻折．这些变换在探索与发现图形的性质及图形关系等方面有着广泛的应用请利用图形变换知识解决下列问题：
(1)翻折：如图①，在矩形中，点E是边的中点，将
沿
折叠后得到
，且点F在矩形内部．将
延长交边于点G．若
，则
___________
(2)平移．如图②，矩形中，
，将矩形沿对角线AC方向平移得到矩形
，平移的速度为5个单位/秒，设平移的时间为t秒
，记图中矩形
的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值：
(3)旋转；如图③，已知
，其中
，现将
绕着A点顺时针方向旋转
角度
得到
，如图④，直线
分别与直线
交于点M、N．在绕着A点旋转的过程中，探究．当
___________时，
是等腰三角形（直接写结果）
(1)翻折：如图①，在矩形
中，点E是边的中点，将沿折叠后得到，且点F在矩形内部．将延长交边于点G．若，则___________(2)平移．如图②，矩形
中，，将矩形沿对角线AC方向平移得到矩形，平移的速度为5个单位/秒，设平移的时间为t秒，记图中矩形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值：(3)旋转；如图③，已知
，其中，现将绕着A点顺时针方向旋转角度得到，如图④，直线分别与直线交于点M、N．在绕着A点旋转的过程中，探究．当___________时，是等腰三角形（直接写结果）
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐3】在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M，FH的中点是P．
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
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①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
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解答题-证明题
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(0.15)
【推荐1】苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：
（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：
①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出完整的证明过程．
②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：
（2）交流后小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下提出了新的问题，请你解答：
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：
①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出完整的证明过程．
②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：
（2）交流后小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下提出了新的问题，请你解答：
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】如图，在长方形ABCD中，AB=12，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，若CF=4，且△EFG为等腰直角三角形，求EF的长.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐3】定义：长宽比为
：1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个
矩形，如图a所示.
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH.
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为矩形.
(1)证明：四边形ABCD为矩形.
(2)点M是边AB上一动点.
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值.
②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB＝，求DR的最小值.
：1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示.操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH.
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为
矩形.(1)证明：四边形ABCD为
矩形.(2)点M是边AB上一动点.
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值.
②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB＝
，求DR的最小值.
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解答题-应用题
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困难
(0.15)
【推荐1】在矩形中，
，
，
是上的一点，且，
是直线上一点，射线交直线于点
，
交直线于点
，连结
、
，直线交直线于点
．为中点时，求
与
的长；
②求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，求满足条件的的长．
中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点．
为中点时，求与的长；②求
的值．(2)若
为等腰三角形时，求满足条件的的长．
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【推荐2】如图，在
中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为AB边上一点，且AD=2，点P从点C出发，沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作平行四边形CPDE．设点P的运动时间为t（秒）（t＞0）
（1）连结CD，求CD的长；
（2）当平行四边形CPDE为菱形时，求t的值；
（3）将线段CD沿直线CE翻折得到线段
，当点
落在
的边上时，直接写出t的值 ．
中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为AB边上一点，且AD=2，点P从点C出发，沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，以CP、DP为邻边作平行四边形CPDE．设点P的运动时间为t（秒）（t＞0）（1）连结CD，求CD的长；
（2）当平行四边形CPDE为菱形时，求t的值；
（3）将线段CD沿直线CE翻折得到线段
，当点落在的边上时，直接写出t的值 ．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐3】定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形中，若
，则四边形为倍分四边形，
为四边形的倍分线．
，若是假命题请在括号内打
．
①平行四边形是倍分四边形（______）
②梯形是倍分四边形（______）
(2)如图1，倍分四边形中，是倍分线，若
，
，
，求的长；
(3)如图2，在，
，以为直径的
分别交
于点
，已知四边形
是倍分四边形．
①求
的值；
②如图3，连结
，
交于点，取
中点，连结
交
于，若
，求
的长．
中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
，若是假命题请在括号内打．①平行四边形是倍分四边形（______）
②梯形是倍分四边形（______）
(2)如图1，倍分四边形
中，是倍分线，若，，，求的长；(3)如图2，在
，，以为直径的分别交于点，已知四边形是倍分四边形．①求
的值；②如图3，连结
，交于点，取中点，连结交于，若，求的长．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋
BQ的最小值．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6
，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．
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解答题-作图题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】如图，在
中，
，点
到
两边的距离相等，且
．
中，，点到两边的距离相等，且．（1）先用尺规作出符合要求的点
（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设
，
，试用
、
的代数式表示的周长和面积；
（3）设
与
交于点
，试探索当边
、
的长度变化时，
的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交轴于点
，
，交轴于点
，且抛物线的对称轴经过点
，过点的直线
交抛物线于另一点，点
是该抛物线上一点，连接，，
，
．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）试问：轴上是否存在某一点，使得以点，
，为顶点的
与
相似？若相似，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是直线上方的抛物线上一动点（不与点，重合），过作
交直线于点，以
为直径作
，则在直线上所截得的线段长度的最大值等于_______．（直接写出答案）
交轴于点，，交轴于点，且抛物线的对称轴经过点，过点的直线交抛物线于另一点，点是该抛物线上一点，连接，，，．（1）求直线
及抛物线的函数表达式；（2）试问：
轴上是否存在某一点，使得以点，，为顶点的与相似？若相似，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点
是直线上方的抛物线上一动点（不与点，重合），过作交直线于点，以为直径作，则在直线上所截得的线段长度的最大值等于_______．（直接写出答案）
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