如图1，在平面直角坐标系
中，已知抛物线
：
（
）．
（1）若抛物线过点
，求出抛物线的解析式；
（2）当
时，
的最小值是
，求时，的最大值；
（3）已知直线
与抛物线（）存在两个交点，若两交点到
轴的距离相等，求
的值；
（4）如图2，作与抛物线关于轴对称且对称轴相同的抛物线
，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
中，已知抛物线：（）．（1）若抛物线过点
，求出抛物线的解析式；（2）当
时，的最小值是，求时，的最大值；（3）已知直线
与抛物线（）存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值；（4）如图2，作与抛物线
关于轴对称且对称轴相同的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
更新时间：2021-05-26 11:53:43
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知抛物线
经过点
，且抛物线上任意不同两点
都满足：当
时，
；当
时，
；抛物线与轴另一个交点为
，与轴交于
点，对称轴与轴交于
点.
（1）求抛物线的对称轴及点的坐标；
（2）过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点
，当四边形
是正方形时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线
与抛物线交于点
和
，与直线
交于点
，若
，结合函数的图象，直接写出
的取值范围.
经过点，且抛物线上任意不同两点都满足：当时，；当时，；抛物线与轴另一个交点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的对称轴及点
的坐标；（2）过点
作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，当四边形是正方形时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，垂直于
轴的直线与抛物线交于点和，与直线交于点，若，结合函数的图象，直接写出的取值范围.
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(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线
与抛物线交于P，Q两点，交抛物线对称轴于点T，若
QMT的面积是PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | … |
（2）如图1，直线
与抛物线交于P，Q两点，交抛物线对称轴于点T，若QMT的面积是PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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为坐标原点，抛物线
交
两点，交
．
在第三象限的抛物线上，连接
交
，线段
的长为
，求
轴，交抛物线于另一点
，点
之间的抛物线上，过点
，交
的延长线交
的延长线于点
，连接
，若
，求点
解答题-证明题
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较难
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将△ODE沿DE翻折得到△FDE．
（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；
（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；
（3）是否存在实数t，使△BDE的面积最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；
（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；
（3）是否存在实数t，使△BDE的面积最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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【推荐2】如图，抛物线
与y轴交于点
，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为
．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点P是
上的一动点，过点P作
，交
于E，连接
，求
面积的最大值．
(3)若点D为
的中点，点M是线段上一点，且
为等腰三角形，求M点的坐标．
与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为．(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点P是
上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值．(3)若点D为
的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标．
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），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
的值．
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解题方法
【推荐1】已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
交x轴于A，B，交y轴于C，连接AC、BC，tan∠ABC=
．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位，使抛物线与△ABC的边有且只有一个交点，求m的值；
(3)点M是位于直线BC上方抛物线上一点，连接MC，MB
① 若满足
（k为常数）的点M有且只有一个，求点M的坐标；
② 在①的条件下，以M为圆心的圆与y轴相切，过
上一点E，作直线BC的垂线，垂足为G，与x轴于点F，当
的值最小时，求E点坐标．
交x轴于A，B，交y轴于C，连接AC、BC，tan∠ABC=．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位，使抛物线与△ABC的边有且只有一个交点，求m的值；
(3)点M是位于直线BC上方抛物线上一点，连接MC，MB
① 若满足
（k为常数）的点M有且只有一个，求点M的坐标；② 在①的条件下，以M为圆心的圆与y轴相切，过
上一点E，作直线BC的垂线，垂足为G，与x轴于点F，当的值最小时，求E点坐标．
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【推荐2】如图，“爱心”图案是由抛物线
的一部分及其关于直线
的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为
．
(1)求m的值及AC的长；
(2)求
的长；
(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接
，求的最大值及此时Q点的坐标．
的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． (1)求m的值及AC的长；
(2)求
的长；(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线
对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标．
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与x轴交于点
，
，直线
交抛物线于点A、C．
对称抛物线
的解析式；
