【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点为原点，为等边三角形，，分别为， 边上的动点，点，点同时从点出发，若以个单位每秒的速度从点向点运动，点以2个单位每秒的速度从点向点运动，设运动时间为．
(1)如图1，已知点的坐标为，且满足，求点坐标:
(2)如图1．连接，交于点，请问当为何值时，；
(3)如图2，为边上的中点，，在运动过程中，，，三点是否能构成使的等腰三角形，若能，试求:①运动时间；②此时四边形的面积:若不能．请说明理由．

【推荐1】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
   
(1)如图①， 在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ．
(2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(3)如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，，．求的长．

【推荐2】如图，在中，，将绕点C旋转一定的角度得到，点D恰好落在边上．
   
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐3】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．

求证：．
证明：延长至点，使，连结．
【问题解决】补全以上证明过程．
证明：延长至点，使，连接．
【规律探索】如图，在中，于点于点；点是的中点，连结，若，则_______．

【结论应用】如图，分别是的高线，连结．分别是的中点，则的长为_______．

【推荐1】如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．
（1）求证：DH⊥CE；
（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H，T为FC的中点．
①求证：FH＝AH；
②FO＝5，TO＝，求点E的坐标．
   

【推荐3】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．AB²，CD²，AD²，BC²的关系是________．
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．（可直接利用（2）中的结论）

【推荐1】某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．

【推荐2】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D是射线AB上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，连接DE、BE．

（1）若点D在AB边上，求∠DCE的度数；
（2）若△ACD与△BDE全等，求AD的长；
（3）若AD，求⊙O的半径r的值．