【推荐1】正方形的边长为4．

(1)将正方形对折，折痕为，如图①把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为，求的长；
(2)如图②当时，在点由点移动到中点的过程中，求面积的取值范围．

【推荐2】【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．
①若，则______．
②若，与的周长分别为，则______，______．
【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．

【推荐1】问题提出

如图1，在中，，，，则的面积为________；
问题探究
如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度；
问题解决
如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值．

【推荐3】【选一选，填一填】
（1）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（   ）
A．16                      B．18                 C．24                 D．32
（2）等腰△ABC中，顶角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则的值为　　．
【画一画，算一算】
（3）如图是某百姓休闲广场的部分平面示意图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米， 点E在CD边上，且CE长40米．根据规划，要在直角梯形ABCD内确定一点F，AF长25米，同时建造展示区△FDE和休闲区△FBC．已知展示区造价每平方米200元，休闲区造价每平方米100元，建造好展示区和休闲区最少需要多少元？

【推荐1】如图1，在中，，，点P是内一个动点，且．

(1)试找出与相等的角，并说明理由．
(2)如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接
①求证；
②求的最小值．
(3)在如图2的条件下，若，求证：