【推荐1】与均为等婹直角三角形，．

(1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______．
(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论．
(3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系．

【推荐2】综合与探究
某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：
(1)已知，，如图1，分别以和为边向外侧作等边和等边，连接．，请你完成作图，并猜想与的数量关系是     ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）


(2)类比探究：如图2，分别以和为边向外侧作正方形和正方形，连接．，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论．


(3)拓展运用：如图3，已知中，，，，过点作，垂足为，且满足，求的长．

【推荐3】在矩形ABCD中，，P是边AB上一点，把沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：；
(2)如图2，当，且时，求的值；
(3)如图3，当时，求BP的值．

【推荐1】如图，在直角坐标系中，B（0，20），D（25，0），一次函数的图象过C（40，n），与x轴交于A点．

(1)求点A和点C坐标；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A₁OB₁，问：能否使以O、A₁、D、B₁为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A₁的坐标；若不能，请说明理由．

【推荐2】如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，若四边形是菱形，求的值．

【推荐3】综合与实践；
【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．

【推荐1】直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图，中，，为斜边中点，则．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图，在中，点为边中点，直线绕顶点A旋转，若、在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接、；

(1)求证：；
(2)若直线绕点旋转到图的位置时，点、在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图，，旋转到与垂直的位置，为上一点且，于，连接，取中点，连接，，求证：．

【推荐2】已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．
特例感知：
（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；
（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；
类比探究：
（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD与α的数量关系，并说明理由．

【推荐3】在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．
(1)当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角，连接．

①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形，是中点，连接，，，，求的值．

【推荐1】在边长为8的等边三角形中，D为的中点，E，F分别为、上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于点N，连接．
   
(1)如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，证明：四边形是菱形；
(2)如图2，的延长线交于点M，当时，求的度数；
(3)如图3，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．

【推荐3】（1）问题背景：如图1，，，，求证：；
（2）尝试应用：如图2，将正方形的边绕点A逆时针旋转一定角度，得到线段，连接交于点H，连按，若，求的度数．
（3）拓展创新：如图3，四边形中，，，，．求的长（直接写出答案）．