【推荐1】如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接并延长交边或边于点．
   
(1)当点在上，
①求证：；
②若，求的值；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点。

（1）求点的坐标；
（2）点是内部一点，连接，求的最小值；
（3）将点向下平移一个单位得到点，连接，将绕点旋转至的位置，使轴，再将沿轴上下平移得到，在平移过程中，直线与轴交于点，在直线上任取一点，连接，，能否以为直线边构成等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由。

【推荐3】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

(1)当且C，D两点重合时（如图1）
①直接写出∠EBF＝　 　°；
②直接写出线段BE与FD之间的数量关系 　 　；
(2)当C，D不重合时（如图2），写出线段BE与FD的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线向终点运动，点在边上以每秒个单位长度的速度运动，在边上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动的过程中，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线相交于点、点不与点、点重合，设点的运动时间为秒．
   
(1) ______ ．
(2)用含的代数式直接表示的长．
(3)当四边形是轴对称图形时，求出的值．
(4)连接，如图，当将的面积分成两部分时，直接写出的值．

【推荐3】如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

【推荐2】如图，中，，，以点A为圆心、长为半径作弧，再以点B为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点D，连接，交于点E，连接．
      
(1)猜想：如图1，写出线段与的数量关系是______，直线与直线所夹的锐角是______；
(2)探究：如图2，将绕点B逆时针方向旋转α，在旋转过程中，（1）中的与的数量关系是否仍然成立，若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展：在（2）的条件下，若，当D、E、A共线时，请直接写出线段的长．

【推荐3】如图1，和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针得到，连接，．
   
(1)连接，求证：；
(2)将图1中的绕点A顺时针旋转，如图2，当，且时，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，连接，取，的中点M，N，若，，将绕点A顺时针旋转α，当，线段取最小值时，直接写出线段的长度．

【推荐1】如图，在正方形中，，点P、Q分别是、边上的动点．

(1)填空： _________；
(2)若，且点A关于的对称点落在边上，求的值；
(3)设，直线交直线于点，求与面积之和的最小值．（用含a的代数式表示）

【推荐2】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．

(1)如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式；
(2)如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（），直线分别与x轴于点D、E；
①求证：直线与直线为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接EF，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示）．