解答下列各题．
（1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE的大小为______度．
（2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α．
（3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积．
（1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE的大小为______度．
（2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α．
（3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积．
更新时间：2021/08/29 13:30:41
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【推荐1】如图，四边形ABCD是正方形，在AB的延长线上取一点E，连接EC，过点C作CF⊥EC交AD于F．
(1)求证：EC=FC；
(2)若G、M分别是AB、CD上一动点，连接GM，H是GM上的中点，连接BH，当G、M运动到某一特殊位置时得到BH=BG +CM，此时∠ABH的度数是多少？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若BG=1，MC=
，连接AH．求出四边形AHMD的面积．
(1)求证：EC=FC；
(2)若G、M分别是AB、CD上一动点，连接GM，H是GM上的中点，连接BH，当G、M运动到某一特殊位置时得到BH=BG +CM，此时∠ABH的度数是多少？请说明理由；
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【推荐2】数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在
中，
，
，
，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设
，
，
(1)当
时，则 x＝ ；y＝ ；
(2)填表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（参考数据：
；
）．
(3)试求y与x之间的函数关系式；
a、建立平面直角坐标系，如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象；
b、结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
中，，，，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设，，(1)当
时，则 x＝ ；y＝ ；(2)填表：
| x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
| y/cm | 2 | 1.8 | 1.7 | 2 | 2.3 | 2.6 | 3 |
；）．(3)试求y与x之间的函数关系式；
a、建立平面直角坐标系，如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象；
b、结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
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，点
，点A在
．
绕着点
顺时针旋转，得
，点A、
旋转后的对应点分别为
、
，记旋转角为
．
，设直线
和直线
交于点
时，如图3，请直接写出四边形
的面积．
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【推荐1】给出如下定义：在平面内，把一个图形
上任意一点与另一个图形 
上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点 
①点
到线段 
的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ；
②当线段绕中点旋转时，则点到线段
距离
的取值范围为 ；
③以为边，在
轴下方做矩形
，其中
平行
轴，
，当矩形绕着点
旋转时，则点到矩形 的距离 
的取值范围为 ；
(2)当点在圆心
，半径为
的圆上运动时，求点到线段的距离
的取值范围？
上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点 
①点
到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ；②当线段
绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ；③以
为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ；(2)当点
在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？
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【推荐2】如图，
，D，E分别是射线
上的动点，连接
，将绕点D逆时针旋转
得到
，连接
．
(1)如图1，当
时，求证：
．
(2)如图2，当
时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．
(3)若
，请直接写出以A，D，E，F为顶点的四边形的面积．
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【推荐3】若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4
，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
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【推荐1】在矩形中，E是
上一个动点，连接
(1)如图1，若
，
，
，求
的长；(2)如图2，点P是
中点，将直线绕点P顺时针旋转
后，恰好经过点B，交
于点F，连接
，若
．求证：
．(3)如图3，若点P是
上一点，直线绕P点顺时针旋转90°，恰好经过点D．若，，连接
，请的最小值．
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【推荐2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，过点D（
）且顶点P的坐标为（﹣1，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，求点E的坐标．
）且顶点P的坐标为（﹣1，3）． （1）求二次函数的解析式；
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，PB=3时，求PA的长.
