若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4
，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4
，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
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更新时间：2020-03-01 20:52:24
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名校
【推荐1】如图，在
中，
，
，点D为直线
右上方一点，且满足
，连接
．
(1)如图1，若
，交于点O，求
的长；
(2)如图2，点E为线段上一点，连接
、
，且满足
，试证明
；
(3)如图3，在（2）的条件下，以，
为边构造平行四边形
，当
时，直接写出
的面积．
中，，，点D为直线右上方一点，且满足，连接． (1)如图1，若
，交于点O，求的长；(2)如图2，点E为线段
上一点，连接、，且满足，试证明；(3)如图3，在（2）的条件下，以
，为边构造平行四边形，当时，直接写出的面积．
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【推荐2】如图，已知等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=
，点A、B分别在x轴和y轴上，点C的坐标为（6，2）.
（1）如图1，求A点坐标；
（2）如图2，延长CA至点D，使得AD=AC，连接BD，线段BD交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点M，使得△BDM的面积等于△ABO的面积，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
，点A、B分别在x轴和y轴上，点C的坐标为（6，2）.（1）如图1，求A点坐标；
（2）如图2，延长CA至点D，使得AD=AC，连接BD，线段BD交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点M，使得△BDM的面积等于△ABO的面积，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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解题方法
【推荐3】在
ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：
①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；
②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：
①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；
②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．
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较难
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【推荐1】在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别是射线BA和射线AD上的点（不与A，B重合），且∠ECF＝60°．
(1)问题初现
如图1，当点E和点F分别在线段BA和线段AD上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间的数量关系是______．
(2)深入探究
如图2，当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)拓展应用
在（2）的条件下，若BC⊥CE，且BC＝4，请直接写出DF的长．
(1)问题初现
如图1，当点E和点F分别在线段BA和线段AD上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间的数量关系是______．
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如图2，当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
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在（2）的条件下，若BC⊥CE，且BC＝4，请直接写出DF的长．
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真题
名校
【推荐2】综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
，
，圆心角
.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离
.
(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角
.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离
（结果保留根号）.
(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角
______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离
______（结果保留根号）.
(4)归纳推理：比较，，
大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离
______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是
，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是
，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较
，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离
______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
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解答题-作图题
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(0.4)
【推荐3】【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角画出一个菱形，使
为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作
的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．
(1)请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将的中线BO延长至点D，使
，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
(2)请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并小心求证．
【迁移应用】
(3)如图4，在（2）的条件下，若
，且
时，求
的值．
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角
画出一个菱形，使为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．(1)请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将
的中线BO延长至点D，使，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．(2)请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并小心求证．
【迁移应用】
(3)如图4，在（2）的条件下，若
，且时，求的值．
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(0.4)
【推荐1】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1
（1）当点A1落在AC上时
①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；
②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；
（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．
（1）当点A1落在AC上时
①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；
②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；
（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，当BC与DC满足______时，四边形ABCD为“垂美四边形”（直接写结果）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD．求证：
；
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等腰Rt△ACG和等腰Rt△BAE，连结GE，已知AC＝4，AB＝5，则GE＝________（直接写出结果）．
(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，当BC与DC满足______时，四边形ABCD为“垂美四边形”（直接写结果）；
(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD．求证：
；(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等腰Rt△ACG和等腰Rt△BAE，连结GE，已知AC＝4，AB＝5，则GE＝________（直接写出结果）．
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的位置如图所示，等边三角形的边长为2． 
点的坐标；
过点
，求该直线的表达式；
轴上找一点
，使得三角形
为等腰三角形，直接写出点
轴交于点
，在该直线上找一点
，使得三角形
的面积为
．
