【推荐1】旋转变换是一种全等变换，它是解决几何问题的一种常用的方法．
已知四边形是菱形，，的两边分别与射线相交于点E、F，且．
(1)如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段之间的数量关系                  ；
   
(2)如图2，当点E是线段上任意一点是（点E不与点B、点C重合），求证：；
   
(3)如图3，当点E在线段的延长线上，且时，则点F到的距离为            ；
   
拓展：
如图4，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
   
(4)如图5，将F绕点A顺时针旋转得到，则            ；若，则            ；
   
(5)如图6，连接交于点M，交于点N，则线段、线段、线段之间的数量关系为                        ．
   

【推荐2】已知正方形的边长为为等边三角形，点在边上，点在边的左侧．

(1)如图1，若在同一直线上，求的长；
(2)如图2，连接，并延长交于点，若，求证：；
(3)如图3，将沿翻折得到，点为的中点，连接，若点在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．

【推荐1】方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．
（1）问题解决：
如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．

（2）拓展研究：
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．

【推荐2】如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【推荐3】如图，在中，，，DF是的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG．
求证：≌．
若．
求CG的长．
在的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．
在内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出，，的面积之比．

【推荐1】已知：，求证：．

【推荐2】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点（不与点A、C重合），过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（3）在第（2）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（不需说明理由）
（4）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能成为菱形吗？若能，请加以证明；若不能，则说明理由．