平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设抛物线与x轴的另一交点为B，点C为抛物线上A，B之间一点，连接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求点C的坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣2k＋5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设抛物线与x轴的另一交点为B，点C为抛物线上A，B之间一点，连接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求点C的坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣2k＋5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．
更新时间：2021-10-13 06:52:59
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较难
(0.4)
【推荐1】直线y=﹣
x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求抛物线表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．
x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．(1)求抛物线表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．
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(0.4)
【推荐2】如图，抛物线
与x轴交于
、B两点，与y轴交于点
，抛物线的对称轴交x轴于点D．
求抛物线的解析式；
求
的值；
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使
是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．
与x轴交于、B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．求抛物线的解析式；求的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．
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与直线
相交于
两点，且抛物线经过点
．
轴于点D，交直线
于点E．当
时，求P点坐标．
是以
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，
和
都是等腰直角三角形，
，
，
是
斜边上的中线，点
是射线
上的一点，以
为斜边向左侧作等腰直角
，连接
．
(1)当点在线段
上（点与点
、点
不重合），求证：
；
(2)在（1）的条件下，设
，的面积为y，求y关于
的函数关系式及其定义域；
(3)探究：当点在射线上运动时，
是否可以成为等腰三角形？若可以，求出
的长度；若不可以，请说明理由．
和都是等腰直角三角形，，，是斜边上的中线，点是射线上的一点，以为斜边向左侧作等腰直角，连接． (1)当点
在线段上（点与点、点不重合），求证：；(2)在（1）的条件下，设
，的面积为y，求y关于的函数关系式及其定义域；(3)探究：当点
在射线上运动时，是否可以成为等腰三角形？若可以，求出的长度；若不可以，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】如图1，已知直线
与坐标轴相交于
、两点，经过点、的抛物线
与轴交于点
．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点
是
轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）如图2，
轴与抛物线相交于点，点
是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与
交于点
，试探究当点运动到何处时，四边形
的面积最大，求点的坐标及最大面积；
（4）若点
为抛物线的顶点，点
是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点
，
，使四边形
的周长最小，求出点，的坐标．
与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点．（1）求抛物线解析式；
（2）若点
是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）如图2，
轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；（4）若点
为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B (0，8)，D(10，0)．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．
（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；
（2）若点M是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线1⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）
（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；
（2）若点M是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线1⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）
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较难
(0.4)
【推荐1】【问题提出】
若一个图形与一个角的两边相交（角的顶点在这个图形上或图形内），该图形在角的内部的这部分的长度称为该角对这个图形的“投射长”．如图1，点P是四边形ABCD内一点，∠MPN与四边形ABCD的边AD、BC分别交于点E、点F，此时∠MPN对四边形ABCD的“投射长”就是AE＋AB＋BF；如图2，⊙O上有一点P，此时∠EPF对⊙O的“投射长”就是弧EF的长度．
(1)在图2中，当∠EPF＝75°，⊙O的直径为6时，∠EPF对⊙O的“投射长”＝______；当点在⊙O上运动时，“投射长”如何变化______（填“变大”“变小”或“不变”）
【迁移尝试】
(2)如图3，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠EOF＝90°，请说明此时∠EOF对正方形ABCD的“投射长”CE＋CF是否变化？如果不变，请说明理由．
(3)若在正六边形ABCDEF中，以正六边形ABCDEF的中心O为顶点作角，当该夹角为______度时，该角对正六边形ABCDEF的“投射长”不变．
【深入感悟】
(4)如图4，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝20，点M为AD边上一点，∠EMF＝90°，∠EMF与矩形ABCD的边AB、BC分别交于点E、点F，此时∠EMF对矩形ABCD的“投射长”为BE＋BF．
①当AM＝2，AE＝x时，BE＋BF＝______（用x的代数式表示）
②在AD边上是否存在一点M，使得“投射长”BE＋BF不变，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由．
【综合运用】
(5)如图5，
中，
，AD＝6，∠B＝45°，点E是BC边上的一个动点，
的外接圆过点C，且与DC边交于点F，此时∠EAF对的“投射长”为CE＋CF．当EF取最小值时，CE＋CF的值为______．
若一个图形与一个角的两边相交（角的顶点在这个图形上或图形内），该图形在角的内部的这部分的长度称为该角对这个图形的“投射长”．如图1，点P是四边形ABCD内一点，∠MPN与四边形ABCD的边AD、BC分别交于点E、点F，此时∠MPN对四边形ABCD的“投射长”就是AE＋AB＋BF；如图2，⊙O上有一点P，此时∠EPF对⊙O的“投射长”就是弧EF的长度．
(1)在图2中，当∠EPF＝75°，⊙O的直径为6时，∠EPF对⊙O的“投射长”＝______；当点在⊙O上运动时，“投射长”如何变化______（填“变大”“变小”或“不变”）
【迁移尝试】
(2)如图3，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠EOF＝90°，请说明此时∠EOF对正方形ABCD的“投射长”CE＋CF是否变化？如果不变，请说明理由．
(3)若在正六边形ABCDEF中，以正六边形ABCDEF的中心O为顶点作角，当该夹角为______度时，该角对正六边形ABCDEF的“投射长”不变．
【深入感悟】
(4)如图4，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝20，点M为AD边上一点，∠EMF＝90°，∠EMF与矩形ABCD的边AB、BC分别交于点E、点F，此时∠EMF对矩形ABCD的“投射长”为BE＋BF．
①当AM＝2，AE＝x时，BE＋BF＝______（用x的代数式表示）
②在AD边上是否存在一点M，使得“投射长”BE＋BF不变，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由．
【综合运用】
(5)如图5，
中，，AD＝6，∠B＝45°，点E是BC边上的一个动点，的外接圆过点C，且与DC边交于点F，此时∠EAF对的“投射长”为CE＋CF．当EF取最小值时，CE＋CF的值为______．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝
x+
与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
x+与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的表达式；
（2）点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，
①若PF＝AB，求点P的坐标．
②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．
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交⊙O于点C，D，其中
，
．E是
上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE．
．
时，求
的值．
