【推荐1】已知，在中，D是上一点，交于点E，连接．

(1)如图1，，．求证：；
(2)如图2，点D与点C重合，，．若，求的长．

【推荐2】爱动脑筋的小明在学习了全等三角形和等腰三角形有关知识后作了如下探索：
（1）已知，如图，△ABC中，∠BAC是锐角，AB＝AC，高AD、BG 所在的直线相交于点H， 且AG＝BG，则AH和BC的关系是：_____________________；

（2）若把（1）中的“∠BAC是锐角”改为“∠BAC是钝角”（如图2），其他条件都不变， AH和BC的关系是否仍然成立， 若成立，请在图2中用三角板和量角器画出完整的图形并证明；若不成立，请说明理由．

【推荐3】已知在△ABC中，，AC＝BC＝．
（1）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接写出点B，C的坐标；
（2）如图2，过点C作∠MCN＝45°交AB于点M，N，且AM=1，求MN的长度；
（3）如图3，过点C作∠MCN＝45°，当点M，N分布在点B异侧时，线段AM，BN和MN满足怎样的数量关系？并给予证明．

【推荐1】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，的周长是12，分别平分和，于点D，若，则的面积为       ．

【推荐2】已知：如图，，和分别平分和，过点与垂直，求证：是的中点．
   

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB． DE恰好是AB的垂直平分线．CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由．

【推荐1】如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

(1)求证： ∠CAB=∠DAB；
(2)若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．

【推荐2】如图，已知点以及直线于点于点．

(1)在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和侧规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作的图中，连接，若，求证：．

【推荐3】如图，在中，是的中点，过点作，交于点，连接，若，的周长为，求的周长．