一般地，数轴上表示数
和数
的两点之间的距离为
，例如：数轴上表示数1和数2的两点之间的距离为
，表示数-1和数2的两点之间的距离为
．根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若数轴上表示数
的点位于5与1之间，则
__________；若数轴上表示数的点位于5右侧，则
__________；依照上述方法，可以探索出
的最大值是___________．
（2）Fibonacci发现数轴上有这样一组数：
，
，
，…，
，
，
（
，且
，
与均为正整数），同时依照（1）中方法，探索出为
的最大值，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形如下，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个，…正方形拼成如下长方形，并记为①，②，③，④，…，相应长方形的周长如下表所示．
仔细观察图形，上表中的
__________，
__________，用含
、
的代数式表示为__________．
和数的两点之间的距离为，例如：数轴上表示数1和数2的两点之间的距离为，表示数-1和数2的两点之间的距离为．根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若数轴上表示数
的点位于5与1之间，则__________；若数轴上表示数的点位于5右侧，则__________；依照上述方法，可以探索出的最大值是___________．（2）Fibonacci发现数轴上有这样一组数：
，，，…，，，（，且，与均为正整数），同时依照（1）中方法，探索出为的最大值，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形如下，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个，…正方形拼成如下长方形，并记为①，②，③，④，…，相应长方形的周长如下表所示．图形 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
|
|
|
|
周长 |
|
| 16 | 26 |
|
|
| … |
|
|
|
|
__________，__________，用含、的代数式表示为__________．
更新时间：2021-11-07 13:29:09
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【推荐1】【阅读】在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点的线段的长度AB=
，以A、B为端点线段的中点对应数为
．
【运用】如图，已知A、B、C 分别为数轴上的两点，点A对应的数为-8，点B对应的数为 4，点C对应的数为6，现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒．
(1)A，B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ；
(2)用含t 的代数式表示：点P对应的数是 ，点Q对应的是 ，动点Q经过 秒时运动到点A与点B的中点处；
(3)经过多少秒时，点P与点Q之间的距离恰好是点Q与点C之间距离的一半？
，以A、B为端点线段的中点对应数为．【运用】如图，已知A、B、C 分别为数轴上的两点，点A对应的数为-8，点B对应的数为 4，点C对应的数为6，现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒．
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【推荐2】已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．
（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．
①若点M运动到原点O时，此时点M 【A，B】的好点（填是或者不是）
②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间
（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
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（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．
①若点M运动到原点O时，此时点M 【A，B】的好点（填是或者不是）
②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间
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【推荐3】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离
______，线段
的中点C表示的数为 ；
(2)求当t为何值时，
；
(3)若点M为
的中点，点N为
的中点，点P在运动过程中，
的长度是否变化；若不变，请说明理由．
．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
(1)填空：A、B两点间的距离
______，线段的中点C表示的数为 ；(2)求当t为何值时，
；(3)若点M为
的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，的长度是否变化；若不变，请说明理由．
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【推荐2】（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则
；
； ；
．
（2）已知一个正数的两个平方根是
和
．求
的平方根．
； ； ； ．（2）已知一个正数的两个平方根是
和．求的平方根．
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表示
与
之差的绝对值，实际上也可理解为
；
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的最小值为 ．
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【推荐1】如图，用火柴棒摆出一系列的三角形图案，共摆出层．当
时，需3根火柴棒；当
时，需9根火柴棒，按这种方式摆下去．
(1)当
时，需______根火柴棒．
(2)当
时，需______根火柴棒．
层．当时，需3根火柴棒；当时，需9根火柴棒，按这种方式摆下去． (1)当
时，需______根火柴棒．(2)当
时，需______根火柴棒．
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【推荐2】观察下列图形与等式的关系：
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
(3)运用上述规律计算：
．
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含
的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；(3)运用上述规律计算：
．
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【推荐3】某公园计划砌一个形状如图1的水池（图中长度单位：m），后有人建议改为如图2的形状，
且外圆直径不变．
【问题】请你计算两种方案中的圆形水池的周长，确定哪一种方案砌的圆形水池的周边需要的材料多．
【拓展】如图3，若将图2中三个小圆改为个小圆，小圆半径分别为
，
，
，
，且
，直接写出图3中所有圆的周长总和．
【应用】元宝是中国古代的货币，在今天也有着富贵吉祥的寓意，王师傅准备建设一个形如元宝的花坛，如图4，花坛是由4个半圆所围成，最大半圆的半径为2m，求花坛周边需要的材料总长（结果保留
）．
且外圆直径不变．【问题】请你计算两种方案中的圆形水池的周长，确定哪一种方案砌的圆形水池的周边需要的材料多．
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个小圆，小圆半径分别为，，，，且，直接写出图3中所有圆的周长总和．【应用】元宝是中国古代的货币，在今天也有着富贵吉祥的寓意，王师傅准备建设一个形如元宝的花坛，如图4，花坛是由4个半圆所围成，最大半圆的半径为2m，求花坛周边需要的材料总长（结果保留
）．
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和
各看成一个整体，对下列各式进行化简：
；
，则
______．
，求
的值；
，
，求式子
的值．
