【推荐1】矩形中，、为对角线，，，为中点，动点从点出发沿向点运动，动点同时以相同速度从点出发沿向点运动，、的速度都是秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．

(1)当时，求运动时间；
(2)当时，求运动时间；
(3)当时，求运动时间；
(4)连接，的面积能否达到矩形面积的三分之一？若能，求出的值；若不能，说明理由．

【推荐2】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为4cm²？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．

(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．

【推荐1】【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．

【推荐2】如图，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，点B在轴正半轴上连接AB，的长为，其中是不等式的最大整数解．

（1）求的长；
（2）动点P以每秒个单位长度的速度在上从点A向B点运动，设的长度为，运动时间为，请用含的式子表示d；
（3）如图2，在（2）的条件的下，平分交轴于点，点在上，点在上，连接，且，点与点的纵坐标的差为，连接并延长交过B点且与轴垂直的直线于，当为何值时，，并求的值．

【推荐1】如图1，在中，，，点D、E分别在边AC、AB上，，连接DE．将绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)[问题发现]①当时，____________；
②当时，____________；
(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]当旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为_____________．

【推荐2】在中，，，点是直线上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】
（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是______．
【猜想论证】
（2）当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长到，使，连接和，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】
（3）若，其他条件不变，连接、．当是等边三角形时，请直接写出的面积．

【推荐3】已知如图：在四边形中，，，，，动点P从点B出发在线段上向点C运动；点Q从点D出发在线段上向点A运动，速度为，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．

(1)当秒时，四边形面积为多少？
(2)当时，求t的值．
(3)当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，则______________．（直接写出答案）

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，，以和为邻边作矩形，点是直线上一动点．
   
(1)求点的坐标；
(2)连接，若平分，求出点的坐标；
(3)若点是轴左侧任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．